微分

質問

次の問題が分かりません…。どのように考えてたら良いのでしょうか？
詳しい途中式を教えてください！

次の関数を微分せよ。
(1)sin^3 x
(2)sin^(-1) x/3
(3)cos^(-1) x/2
(4)tan^(-1) x/4

よろしくお願いいたしますm(__)m

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

(1)
(sin^3(x))'=3sin^2(x)(sin(x))'=3sin^2(x)cos(x)

(2)
sin^(-1)(x/3)=y(-3≦x≦3,-π/2≦y≦π/2)とおくと
　sin(y)=x/3

両辺をxで微分すると
　cos(y)y'=1/3
　y'=(1/3)/cos(y)

cos(y)=√(1-sin^2(y))=√(1-(x/3)^2)=(1/3)√(9-x^2)　より
　y'=(sin^(-1)(x/3))'
　　=(1/3)*3/√(9-x^2)
　∴(sin^(-1)(x/3))'=1/√(9-x^2)

(3)
cos^(-1)(x/2)=y (-2≦x≦2, 0≦y≦π)とおくと
　cos(y)=x/2
xで微分して
　-sin(y)y'=1/2
　y'=-(1/2)/sin(y)
sin(y)=√(1-cos^2(x))=√(1-(x/2)^2)=(1/2)√(4-x^2) より
　y'=(cos^(-1)(x/2))'
　　=-(1/2)*2/√(4-x^2)
　∴(cos^(-1)(x/2))'=-1/√(4-x^2)

(4)
tan^(-1) x/4=y (-π/2≦y≦π/2,-4≦x≦/4)とおくと
　tan(y)=x/4
xで微分して
　y'/cos^2(y)=1/4
　y'=(1/4)cos^2(y)
cos^2(y)=1/(1+tan^2(y))=1/(1+(x/4)^2)=4/(4+x^2)より
　y'={tan^(-1) x/4}'
　　=(1/4)*4/(4+x^2)
∴{tan^(-1) x/4}'=1/(4+x^2)

お礼

ご回答ありがとうございました。
詳しい途中式もあり大変分かりやすいです。自分でも解いてみて確認したいと思います。

ありがとうございましたです

回答No.5

info22_

#3です。

A#3の(4)に計算ミスが有りましたので訂正させていただきます。

(4)
>tan^(-1)(x/4)=y (-π/2≦y≦π/2,-4≦x≦/4)とおくと
>　tan(y)=x/4
>xで微分して
>　y'/cos^2(y)=1/4
>　y'=(1/4)cos^2(y)
>cos^2(y)=1/(1+tan^2(y))=1/(1+(x/4)^2)=4/(4+x^2)より ←計算ミス
正：cos^2(y)=1/(1+tan^2(y))=1/(1+(x/4)^2)=16/(16+x^2)より

↑この影響で以下が訂正になります。

>　y'={tan^(-1)(x/4)}'
>　　=(1/4)*4/(4+x^2) ←×
正: =(1/4)*16/(16+x^2)

>∴{tan^(-1)(x/4)}'=1/(4+x^2) ←×
正：{tan^(-1)(x/4)}'=4/(16+x^2)

以上、訂正願います。

お礼

わざわざありがとうございます。

参考にさせていただきますね。

回答No.4

ferien

ANo.2です。

＞(3)cos^(-1) x/2
ｙ＝cos-1（ｕ），ｕ＝ｘ／２とおく
ｄｙ／ｄｕ＝－１／√（１－ｕ^2），ｄｕ／ｄｘ＝１／２
dy/dx＝(dy/du)・(du/dx)
　　　＝｛－１／√（１－(x/2)^2）｝×(1/2)
　　　＝(1/2)×｛－２／√（４－ｘ^2）｝
　　　＝－１／√（４－ｘ^2）

＞(4)tan^(-1) x/4
ｙ＝tan-1（ｕ），ｕ＝ｘ／４とおく
ｄｙ／ｄｕ＝１／（１＋ｕ^2），ｄｕ／ｄｘ＝１／４
dy/dx＝(dy/du)・(du/dx)
　　　＝｛１／（１＋(x/4)^2）｝×(1/4)
　　　＝(1/4)×｛１６／（１６＋ｘ^2）」
　　　＝４／（１６＋ｘ^2）

になりましたが、どうでしょうか？

お礼

何度もありがとうございます。
本当に感謝します。

回答No.2

ferien

ANo.1です。問題を勘違いしていたかもしれません。

（２）～（４）は、－１乗ではなくて、sin-1(x/3)ということであれば、
＞(2)sin^(-1) x/3
ｙ＝sin-1（ｕ），ｕ＝ｘ／３とおくと、
ｄｙ／ｄｘ＝１／√１－ｕ^2，ｄｕ／ｄｘ＝１／３
dy/dx＝(dy/du)・(du/dx)
　　　＝（１／√１－(x/3)^2）×(1/3)
　　　＝(1/3)×（３／√９－ｘ^2）
　　　＝１／√９－ｘ^2
＞(3)cos^(-1) x/2
ｙ＝cos-1（ｕ），ｕ＝ｘ／２とおく
＞(4)tan^(-1) x/4
ｙ＝tan-1（ｕ），ｕ＝ｘ／４とおく

ANo.1が違っていたら、これでやってみて下さい。

お礼

-1乗で合っています。わざわざありがとうございます。

回答No.1

ferien

＞次の関数を微分せよ。
合成関数の微分です。
＞(1)sin^3 x
ｙ＝ｕ^3，ｕ＝sinｘとおくと、
ｄｙ／ｄｕ＝３ｕ^2，ｄｕ／ｄｘ＝cosｘ
dy/dx＝(dy/du）・(du/dx)＝３sin^2ｘcosｘ
＞(2)sin^(-1) x/3
ｙ＝ｕ^(-1)，ｕ＝sinｖ、ｖ＝ｘ／３とおくと、
ｄｙ／ｄｕ＝－ｕ^(-2)，ｄｕ／ｄｖ＝cosｖ，ｄｖ／ｄｘ＝１／３
dy/dx＝(dy/du)・(du/dv)・(dv/dx)
　　　＝－（sin(x/3)）^(-2)・cos(x/3)・(1/3)
　　　＝－(1/3)sin^(-2)(x/3)cos(x/3)
＞(3)cos^(-1) x/2
ｙ＝ｕ^(-1)，ｕ＝cosｖ，ｖ＝ｘ／２とおく
＞(4)tan^(-1) x/4
ｙ＝ｕ^(-1)，ｕ＝tanｖ，ｖ＝ｘ／４とおく

後は同じようにできると思います。

お礼

お返事遅くなりました。ご回答ありがとうございました。

一つ一つ置き換えていく方法でやるんですね。分かりやすくなりました。

ありがとうございます！