(至急)高校数学の質問です、お願いします！

質問

f(x)=x^3-x^2-x-1、g(x)=x^2-x-1とする。
(1)方程式f(x)=0はただ1つの実数解αをもつことを示せ。また、1＜α＜2であることを示せ。
(2)方程式g(x)=0の正の解をβとする。αとβの大小を比較せよ。
(3)α^2とβ^3の大小を比較せよ。

という問いについてです。僕の考えた手順を以下に示しておきます。

(1)はf(x)のグラフを考えることで、解が1個であること、それが1から2の間にあることが言えますし、(2)もf(β)の大小を考えることで、α＞βが言えます。

∵)
g(β)=0より
　　f(β)=β(β^2-β-1)-1=-1<0

問題は(3)です
g(β)=0を解くと
　　β=(1+√5)/2
が 言えます。
ゆえに、頑張って計算すると
　　β^3=2+√5>4
が求まり、1<α<2より
　　α^2<4
なので
　　α^2<β^3
が言え、一応答えは出せるのですが、もう少しいい解法があるのではないだろうかと思っています。というのも、この解答だと(2)の誘導に乗っていないからです。
　これを不等式の評価で解きたいのですがいい方法はありますでしょうか？？

yahooで検索してみたところhitが1件(yahooの知恵袋です)あり、そこに解答が載っていたのですが
(http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1265467112)
g(x)がx>1/2で単調増加であることから、1<β<αより
　　g(β)<g(α)
であって、1<β^2<α^2、すなわち
　　g(β^2)<g(α^2)
なので、この回答者さんの(3)の解説の2行目から3行目にかけて、すなわち
　　g(β^3)-g(α^2)
　　＞g(β^3)-g(β^2)
は誤りであると思われます。
∵)　-g(β^2)>-g(α^2)

したがって、評価による解法が手詰まり状態なので、知恵を貸してください！

お願いします！

回答No.1

tmpname · ベストアンサー

(3)は (2)を誘導として考える、というのではなく、むしろ「α > βだけど、では大きいαは2乗、小さいβはそれより多く3乗して、それらを比べると今度はどうなるか？もっと細かい評価をしないと出せないが、頑張って調べよ」という意図だと考えた方がよいでしょう。つまり、「(3)という問題を出しているんだから当然(2)ではα > βだよね？」という事です。

で、そうすると結局β、必要によってはαのもう少し細かい近似値を出す、という方針になりますが、できるだけけちりたい。そうすると、βは2次多項式g(x)の根だから、βの多項式は、実際にはβの1次 以下の多項式で必ず書ける。要は、具体的にはx^3をg(x)で割ればいいが、そうしなくても
β^3 = β・β^2
= β(β + 1) = β^2 + β
= (β + 1) + β = 2β + 1
と計算できる。
すると、α^2<4なので、2β + 1 > 4、即ちβ> 3/2なら α^2 < β^3 と分かるが、この段階でβ=(1+√5)/2を計算して(1+√5)/2 > 3/2だから、と結論してもいいし、或いはg(x)のグラフの性質とg(3/2) < 0であることからβ> 3/2をだしてもよい。

まあ方針はほとんど変わらないですが、やはり次数を減らすことは一度は考えた方がいいです。

お礼

なるほど！

確かにそれなら、示したいことの目標を定めてそれが示せるように上手いこと確かめていく段取りになって学ぶべきことも多いですね！

参考になりました！
ありがとうございました

回答No.2

178-tall

f(x) の実零点 α 、
　1＜α＜2
　1＜α^2＜4

g(x) の正値零点 β
　β = {1 + √(5) }/2

　β^2-β-1 = 0
　　　　↓
　β^2 = β+1 = {3 + √(5) }/2
　　　　↓
　β^3 = {8+4√(5) } /4 ＞ 16/4 = 4

…とか？

お礼

それなら大分、計算減らせますね！

とても参考になりました！
ありがとうございました