高校の数学です。

質問

高校の数学です。

aを実数とし、f(x)=x^4+x^2-6x,g(x)=2x^2-16x+aとする。
このとき、どのような実数xに対してもf(x)≧g(x)となるaの値の範囲を求めよ

という問題で、

F(x)=f(x)-g(x)≧0とおくと、
=x^4+3x^2+10x-a≧0
F'(x)=4x^3+6x+10=2(2x^3+3x+5)=2(x+1)(2x^2-2x+5)
ここで、
2x^2-2x+5=2(x-1/2)^2+9/2＞0
よって
F(x)=0の解は
x=-1
(以下略)

という解答があるのですが、

2x^2-2x+5=2(x-1/2)^2+9/2＞0
よって
F(x)=0の解は
x=-1

の部分がわかりません。

何故、平方完成をしたのですか？
そして、なぜ　＞0　がついたのですか？
二乗して、プラスしているので必ず　正になるのはわかるのですが、
それが正になるのを確認する事で何が示されるのかがわかりません。

そして、F(x)の解が何故　x=-1　方だとなったのですか？
x＜0　なんて書いてませんよね？

教えてください。

回答No.3

mister_moonlight · ベストアンサー

極めて基本的なことなんだけど。

F´(x)＝0　を解くという事は、それを解いて増減表を作るという事。
F´(x)＝2(x+1)(2x^2-2x+5)＝0　を解くと、x+1＝0、or、2x^2-2x+5＝0　になる
ところが、2x^2-2x+5＝0を解くと　質問のように平方完成しても良いし（常に正で　0にはならない）、実際に　判別式を使って解いても良いが、実数解にならない。
つまり、2x^2-2x+5＝0を満たす実数xはないと言う事だよ。

お礼

なるほど・・・
わかった気が・・します。
まだもやもやしてますが、実数xという問題文に外れちゃったんですね。
ありがとうございました！

回答No.4

alice_44

2x~2-2x+5=0 に実数解が無いことを示すのに、
単に 判別式＜0 としないで、平方完成を示している理由は、
2x~2-2x+5≠0 だけでなく、2x~2-2x+5＞0 を言っておく
必要があるからでしょう。

最終的な目標は、F≧0 を示すことですから、
F'=0 となる x を見つけるだけでは不足で、
その他の x で F' の符号がどうなるかを
調べておかねばならないのです。

お礼

うぅん　わかったようなわからないような　まだもやもやします。
が、なんとなく　理由はわかった気がします。
ありがとうございました！

回答No.2

naniwacchi

こんばんわ。

F(x)= 0ではなく、F '(x)= 0のことですよね？
方程式：F '(x)= 0の解となる点は、グラフではどのような点ですか？

平方完成をしていること、そしてその平方完成した式が常に正であることは
・その式からは、F '(x)= 0の解はでてこない。
・常に正であることがわかることで、y= F(x)の増減表が書け、グラフの概形がわかる。

ということになります。

F(x)について、どのような条件を与えればよいのかをよく考えてみてください。
「最小値」というキーワードで考えればわかると思いますよ。

お礼

こんにちは。
F(x)　ではなくF'(x)ですね。
ミスです。すみません＾＾；

常に正ということは、＝０にはなりえないですよね。
うんうん。グラフで考えるとそうでした。

ありがとうございました！

回答No.1

nattocurry

＞0　は、≠0　を意味しているのでしょうね。

ちなみに、
> F(x)=0の解は
のところは、「F'(x)=0の解は」の間違いですよね？

2(x+1)(2x^2-2x+5)=0 の解は、(x+1)=0 か (2x^2-2x+5)=0 の場合だけど、(2x^2-2x+5)＞0 なので (2x^2-2x+5)=0 にはなりえない。だから (x+1)=0 の場合だけ、すなわち x=-1が解である。
ということじゃないですか？

お礼

下にイコールついてないですもんね。

あ、はい、ミスです。すみません＾＾；

ずーっと正ですもんねー
てことは０にならない。うんうん。
言われて見るとわかった気がします。

ありがとうございました！