数学III 微分で、

質問

次の方程式の実数解の個数を求めよ。
e^ｘ－2(X＋1)＝0
この問題で、途中式（試験などで、ぜひ書かなければいけない計算式）も一緒に教えてください。

回答No.1

trytobe · ベストアンサー

この問題は、あまりごちゃごちゃ式を書くよりは、「なぜ x を求めさせずに、実数解の個数だけ聞いているか」というのに対応する理由を言葉で補うほうが楽。

ｘが、全部小文字ｘである、つまり e^ｘ－2( x＋1)＝0 という式だという前提で、

これは、e^ｘ＝ 2( x＋1) である 実数 x の個数を求めよ、ということであり、その実数 x は、y = e^ｘ と y＝ 2( x＋1) という２つの関数のグラフの交点であるから、その２つの関数のグラフの交点の数を求めればよい。

あとは、どちらも 関数 y を x で微分すると、すべての x で正なので「単調増加」「下に凸」だから、

e^ｘ ＞ 0 = 2( x＋1) となる x=-1 、e^ｘ ＜ 2( x＋1) となる x=1、また e^ｘ ＞ 2( x＋1) となる x=2 の３点を描けば、y = e^ｘは常に正の範囲を動き、y = 2( x＋1) はそれをx=1付近だけで追い抜くが、x=2 ではまた e^x に追い抜き返されるグラフになることがわかるので、交点が２つだとわかる。

これを、交点の x を求めようとすると、厳密な値を求めることに苦戦するので、個数の確認のみでとどめておくのが得策。

お礼

回答ありがとうございました。
とても丁寧な説明で、よく分かりました。
勉強になりました。ありがとうございました。