《微分》方程式への応用

質問

【問題】
次の方程式の異なる実数解の個数を求めよ。

x^3-4x^2+6x-1=0

上の問題の途中まではできました。
その後からがわからないのでわかる方は、お願いします。

x^3-4x^2+6x-1=0

y=x^3-4x^2+6x-1とおくと、
y'=3x^2-4×2x+6
=3x^2-8x+6

ここからがわからないのでお願いします。

回答No.1

Tacosan

x^3 の係数が正なので, x→-∞ で -∞, x→+∞ で +∞になります. このことを念頭において, 1階導関数 = 0 が
2個の異なる実解を持つ ⇒ 小さい方が極大, 大きい方が極小なので, それぞれが正か負かでてきとうにグラフを書いて判断.
重解を持つ ⇒ 単調増加なので 1個の実解.
虚解 ⇒ 重解のときと (結果的に) 同じ.
一応判別式もあることはありますが, 判別式だけでは「2個の実解 (一方が 2重解)」と「3重解」の区別ができない.

お礼

回答ありがとうございます。

問題を解決することができました。
ありがとうございました。