微分

質問

(1) x>0のとき、e^x>1+x+x^2/2 を証明せよ。

(2) (1)を用いて、lim(x→∞)e^x/x=∞、lim (x→∞)logx/x=0を証明せよ。

(3) (2)を用いて、次の方程式の異なる実数解の個数を調べよ。(mは定数) (1)e^x=mx (2)logx=mx

解説していただけるとありがたいです。

回答No.1

alice_44

(1)
f(x) = (e^x) - (1+x+x^2/2) と置いて、
まずは、f の導関数 f' の増減表を書きましょう。
すると、f' の正負が判って、f の増減表が書けます。
表から f(x) > 0 を言えば、完了です。
増減表の左端は、lim[x→+0]f'(x) と lim[x→+0]f(x) を利用
して処理しましょう。

(2)
ひとつめ：
(1)から、lim[x→∞](e^x)/x > lim[x→∞](1+x+x^2/2)/x
が言えます。
これの右辺の極限は解かりますか？

ふたつめ：
t = log x と置いて、(log x)/x = 1/{(e^t)/t} より
ひとつめの結果が使えます。

(3)
方程式が (e^x)/x = m と (log x)/x = m であることに注目しましょう。
(e^x)/x と (log x)/x それぞれの増減表を書くとき、
右端の処理に(2)の結果を利用します。

以上のヒントを見て考えたことを補足に書いてくれれば、
更にコメントしましょうか。