数学の方程式に関する応用問題についての質問です

質問

xに関する方程式(x^2+2x-2)e^-x+a=0の異なる実数解の個数を求めよ。ただしaは定数で、x^2/e^x→0(x→∞)とする
できれば途中式なども詳しく書いていただけると幸いです

回答No.1

noname#154783

まあ，グラフを描くことでしょうね．
与式を変形すると
a = -(x^2 + 2x - 2)exp(-x)
となるので，
y = a と y = -(x^2 + 2x - 2)exp(-x) のグラフの共有点の個数を調べればいいんです．

f(x) = -(x^2 + 2x - 2)exp(-x) と置くと，
f'(x) = (x^2 - 4)exp(-x) = (x + 2)(x - 2)exp(-x)
なので，
x → -∞で f(x) → -∞
x < -2 で単調増加
x = -2 で極大，極大値 2exp(2)
-2 < x < 2 で単調減少
x = 2 で極小．極小値 -6/exp(2)
2 < x で単調増加
x → ∞ で f(x) → -0.

したがって，与式の実数解の個数は，
a < -6/exp(2) で1個
a = -6/exp(2) で2個
-6/exp(2) < a < 0で3個
0 ≦ a < 2exp(2) で2個
a = 2exp(2) で1個
2exp(2) < a で0個