数学IIの微分法の応用 解き方教えてください。

質問

方程式x^3-3ax+4√2=0(aは定数)について、 異なる実数解の個数を調べよ。
この問題の解き方を教えてください。
答えはa<2のとき1個
a=2のとき2個
2<aのとき3個 です。 お願いします。

回答No.3

suko22 · ベストアンサー

＞方程式x^3-3ax+4√2=0(aは定数)について、 異なる実数解の個数を調べよ。

y=x^3-3ax+4√2とy=0の交点の数の個数を求めよ、と同じ問題ですね。

前者の形状を調べるために微分します。
y'=3x^2-3a
y'=0よりx^2=a,
　　　　x=±√a(ただしa>0)・・・※

ここでaについて場合わけ。
a≦0のときはy'≧0でy=x^3-3ax+4√2は単調増加関数となる。よってy=0との交点は1個。

a>0のとき、※のつづき。
増減表を書いて極値を確認すると、
＞極大値が4√2+2a√a
＞極小値が4√2-2a√aと出ました。
質問者さんの出した答えになります。

ここで極大値は4√2+2a√a>0となる（∵a>0)
極小値がｘ軸より上か、下かでｙ＝0との交点の個数が違ってくる。（簡単なグラフ書いて確認！）

極小値が正の値のとき
4√2-2a√a>0
-2a√a>-4√2
√a^3<√8
a^3<8
a^3-8<0
(a-2)(a^2+2a+4)<0
ここでa^2+2a+4=(a+1)^2+3>0なので、
a-2<0
a<2

よって、a>2のとき、極大値が正で極小値も正だからｙ＝0との交点は1個。

極小値が0のとき、
4√2-2a√a=0
a=2

よって、a=2のとき極大値が正で極小値がゼロだからｙ＝0との交点は2個。

極小値が負のとき
計算は上記と同じなので省略
すなわち、a>2のとき極大値は正で極小値は負だからｙ＝0との交点は3個。

グラフを書きながら進めていってください。
この問題に関しては、添付図のような落書き程度の図で十分です。

お礼

詳しい回答＆グラフ図ありがとうございます!
ちんぷんかんぷんで困っていたのですが
理解することが出来ました。
わかりやすい説明で助かりましたので
ベストアンサーにさせて頂きます。

回答No.2

Tacosan

#1 でも言われているように「グラフにする」のが簡単. およその形がイメージとして出てくればいいので, きちんとしたグラフである必要はない.

お礼

グラフを書いて解けばわかりやすかったんですね。
理解することができました。
回答ありがとうございました!

回答No.1

Gouki_Shibukawa

適当にグラフを描きましょう。異なる実数解の個数は、そのまま極値の個数と
関係していますので、それを考えればいい。っていうか、これは教科書レベルの例題で、
とても応用とは言えませんよ。試行錯誤のない投稿はカンニングと同じです。
どこまで解いてみて分からないのかを記入するべきです。

お礼

理解することができました!
回答ありがとうございました。

補足

詳しく書かなくてすいませんでした・・。
下のところまでは解けました。

a<=0のとき単調に増加して実数解の個数は1個
a>0のとき増減表を書くと極大値が4√2+2a√a
極小値が4√2-2a√aと出ました。

ここからどうしたらいいのでしょうか。
a<2のとき1個　のa<2とはどこから出たか教えて頂きたいです。