微分（数III） 至急

質問

aは実数の定数とするとき、
ｆ（ｘ）＝（1－logx)/ｘ＾2、ｇ（ｘ）＝ｘ＋（alogｘ）/ｘ
（ただし、limｘ→∞logｘ/ｘ＝0は用いてよい）
（1）ｆ（ｘ）の増減を調べて、グラフをかけ。
（2）ｇ（ｘ）が極大値、極小値をもつためのaの条件を求めよ。
（3）（2）のとき、方程式g（ｘ）＝0の実数解の個数を求めよ。

（1）はなんとかできました。

（2）は極値をもつ条件は
ｇ`（ｘ）の符号が正から負、負から正になったとき、
それぞれ極小、極大と言えたと思うので、
g`（ｘ）＝｛ｘ＾2＋a（1ーlogｘ）｝/ｘ＾2
となるので、g`(ｘ)＝0とすると、
g`(ｘ)＝1＋af(ｘ)＝0⇔f(ｘ)＝－1/a
（1）のグラフを利用して、y＝－1/aが２つの交点を持つところ
（正→負、負→正をみたす）の範囲をとって、
－1/（2e＾3）＜－1/a＜0⇔2e＾3＜a
で、あっているでしょうか？

（3）は、g（ｘ）＝0の実数解の個数を求めるわけですが、
Ｙ＝a（a>2e＾3＜a）と残りL（x）＝ーx＾2/logxとにわけて、
L（x）のグラフをかいて、
Ｙ＝a（2e＾3＜a）との交点の個数を求める
のでよいのでしょうか？
しかし、L（x）のグラフの値がすべて負になった？ので、
交点は一つもなく、明らかに間違いだと思うのですが、
他にやり方が思いつきません。

勉強不足ですが、ご指導、お願いいたします。

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回答No.3

info22_ · ベストアンサー

#2です。

図のL(x)のグラフで合っています。

>このグラフが合っていれば、aの範囲を合わせて、
>実数解は１個となりますね。
a>0の場合は1個ですが、a≦0では1個ではありません。

実数解はA#2に書いたとおりaの値により、0個から2個まで変わります。
y=L(x)のグラフとy=aの交点の数がg(x)=0の解の個数ですから、
y=aのx軸に平行な直線でaの値を変化させていくと交点の数が変わります。
交点の個数、すなわちg(x)=0の実数解の個数になります。

お礼

回答、ありがとうございます。
やっと理解できました。

info22さんには、何問も、何度も、本当にお世話になりました。
詳しく説明してくださり、とてもわかりやすかったです。
ほんとうにありがとうございました。

回答No.2

info22_

(2)
a<0でg(x)は極小値を1個持ちます。
a>2e^3で極大値1個と極小値1個を持
ちます。

もし、極大値と極小値を両方とも持つ条
件なら
「a>2e^3」で合っています。
極小値1個だけ持つのも含むなら
「a>2e^3」だけでは合っているとはいえま
せん。
「a<0またはa>2e^3」となります。
(3)を考えるとこちらのケースのようです。

(3)
■ a<-2e でg(x)=0の実数解は2個
■ a=-2e でg(x)=0の実数解は1個
■ -2e<a≦0でg(x)=0の実数解は0個
a>0でx→0で「g(x)→-∞、極大値>0、
極小値>0」なので
g(x)=0の実数解は1個

となりますね。

>L(x)=-x＾2/log(x)より、
>L'(x)={x(-2log(x)+1)}/(log(x))＾2
>となって、L`（x）＝0とすると、
> x=e^(1/2)で、
> x＞0において増減表が、
>x　0...e^(1/2)...
>L'　　＋　0　　－
>L(x）　　－2e
> となったので・・・。
>計算ミスしているでしょうか？？
計算ミスはしていませんがL(x)やL'(x)の分母の「log(x)」を無視して
増減表を作ったことが間違いの原因です。
x=1の前後でlog(x)は0になるのでL(x)やL'(x)が「+∞」や「+∞/-∞」に
なることを忘れていませんか？

>Ｙ＝a（2e＾3＜a）との交点の個数を求める
>のでよいのでしょうか？
L(x)を考えてL(x)=aの交点数からg(x)=0の解の個数を調べることは有効な方法であり、何の問題もありません。

補足

回答、ありがとうございます。
質問のほうの補足に、画像を載せました。
（3）でのL(x)のグラフです。
合っていますでしょうか？
きれいに書けなくて、見にくいと思いますが・・・。
logのほうを見落としていたので、
おかしな答えになっていたのですね。

このグラフが合っていれば、aの範囲を合わせて、
実数解は１個となりますね。

回答No.1

Tacosan

とりあえず (3) についてだけ, だけど, x < 1 なら log x < 0 なので「L（x）のグラフの値がすべて負になった」ということはありえないはず.

補足

回答、ありがとうございます。

L（x）＝ーx＾2/logxより、
L`（x）＝{x(-2log＋1)}/(log2)＾2
となって、L`（x）＝0とすると、
ｘ＝e＾1/2で、
x＞0において増減表が、
x　0...e＾1/2...
`　　＋　0　　－
L(x）　　－2e
となったので・・・。
計算ミスしているでしょうか？？
それとも、x＜1で、もう一度場合わけ？？が必要になるのでしょうか？