次のラプラシアンを使う問題がわかりません

質問

次のスカラー場について△Φを求めよ
1)φ=log(x^2+y^2+z^2)
2)φ=1/√(x^2+y^2+z^2)

△はラプラシアンです。

答えをみると
(1)を(x^2+y^2+z^2)を他の変数に
(2)√x^2+y^2+z^2を他の変数に置き換えて計算しています。

答えは(1)が2/(x^2+y^2+z^2)
(2)が0になります。

過程を是非お願いします…

回答No.2

akinomyoga

その問題はラプラシアンの極座標(球面座標)表示を使う問題なのではないでしょうか。
　極座標 (r, θ, α) → (x, y, z) = (r sinθ cosα, r sinθ sinα, r cosθ)
(場φと紛らわしいのでここでは方位角をαと書きます) を用いるとラプラシアンは
　△ = (∂/∂x)² + (∂/∂y)² + (∂/∂z)²
　　= (∂/∂r)² + (2/r)(∂/∂r) + (1/r²sin²θ)[(sinθ∂/∂θ)²+(∂/∂α)²]
と書けます。これは半ば公式のようなものなので、この式を用いて計算することを前提とする問題があっても不思議ではありません。因みに上記の表式を出す方法については "ラプラシアン 3次元 極座標" などで検索すればいろいろなページでいろいろな方法が紹介されているようですので参考にすると良いかと思います。

ラプラシアンの極座標表示を用いた解き方の例を以下に示します。この問題を解く鍵(?)は r = √(x²+y²+z²) ということと、問題の φ が r だけの関数になってしまい角度に関する微分が消えてしまう(∂/∂θ = ∂/∂α = 0)ことにあります。

(1) φ = log r² = 2 log r,
　△φ = [(∂/∂r)² + (2/r)(∂/∂r)] 2 log r = -2/r² + (2/r)(2/r)
　　= 2/r².

(2) φ = 1/r,
　△φ = [(∂/∂r)² + (2/r)(∂/∂r)] (1/r) = -2/r³ + (2/r)(-1/r²)
　　= 0 (r≠0 のとき).

注意: 最後の r≠0 (つまり (x,y,z) ≠ (0,0,0)) に注意してください。この問題は 2/r² だとか 2 log r だとか書いている時点で、一貫して r≠0 のときの議論になっています。2/r² や 2 log r などと書いているときは表式からしてそのことが明らかですが、0 と書くときは r≠0 だけでなく r=0 でも △φ=0 が成り立つように錯覚してしまうので、"△φ=0 (r≠0)" と書いておいた方が無難です。というか、実際のところ
　△(1/r) = 4πδ⁽³⁾(x), (δ⁽³⁾(x) は R³ 上のディラックのδ関数) = 0 (r≠0)
と考える (のが都合が良い) ので原点では △φ=0 と考えないでください。

回答No.1

bran111

R=x^2+y^2+z^2とおく。

1)φ=log(x^2+y^2+z^2)=logR

∂φ/∂x=(∂R/∂x)(∂φ/∂R)=2x/R

∂^2φ/∂x^2=∂(∂φ/∂x)/∂x=∂(2x/R)/∂x=2[1/R+x(∂R^(-1))/∂x]=2[1/R-x∂R/∂x(∂R^(-1))/∂R]

=2[1/R-2x^2R^(-2)]=2[(R-2x^2)/R^2]

同様に

∂^2φ/∂y^2=2[(R-2y^2)/R^2]

∂^2φ/∂z^2=2[(R-2z^2)/R^2]

△φ=∂^2φ/∂x^2+∂^2φ/∂y^2+∂^2φ/∂zy^2=2[(3R-2(x^2+y^2+z^2)/R^2=2[(3R-2R)/R^2=2/R=2/(x^2+y^2+z^2)

2)φ=1/√(x^2+y^2+z^2)=1/√R=R^(-1/2)

∂φ/∂x=(∂R/∂x)(∂φ/∂R)=2x(-1/2)R^(-3/2)=-xR^(-2/3)

∂^2φ/∂x^2=∂(∂φ/∂x)/∂x=∂(-xR^(-2/3))/∂x=-[R^(-3/2)+x(∂R^(-3/2))/∂x]=-[R^(-3/2)+x∂R/∂x(∂R^(-3/2))/∂R]

=-[R^(-3/2)+x(2x)(-3/2)R^(-5/2)]=-[R^(-3/2)-3x^2R^(-5/2)]=(3x^2-R)/R^(5/2)

同様に

∂^2φ/∂y^2=(3y^2-R)/R^(5/2)

∂^2φ/∂z^2=(3z^2-R)/R^(5/2)

△φ=∂^2φ/∂x^2+∂^2φ/∂y^2+∂^2φ/∂zy^2=[3(x^2+y^2+z^2)-3R]/R^(5/2)={3R-3R]/R^(5/2)=0