ラプラシアンの対象変化の理由

質問

三次元の波動方程式の解の証明なのですがその中で以下のような部分があります。
∫｛積分範囲|y|=ct｝Δy g(x+y)dS(y) →　Δx ∫{積分範囲|y|=ct} g(x+y)dS(y)
x y ベクトル　Δx は　xベクトルへのラプラシアン　ｄS面積素

なぜこのような変換が生じているのかがわかりませんよろしくお願いします。

回答No.1

ringohatimitu · ベストアンサー

偏微分と積分順序の交換ですね。gが1変数関数として十分滑らかであるとすれば、
(∂/∂y)g(x+y)=(∂/∂x)g(x+y)=g'(x+y)
であり、与えられた積分範囲（球面）付近で連続であればLebesgueの収束定理（あるいはもっと単純に重積分を利用して得られるC^1級の関数に対する微分と積分の順序交換定理）より求める変形が得られます。

お礼

回答ありがとうございました。