変数変換を利用して次の積分を計算しろという問題で

質問

I=∫∫∫Ω z dxdydz , Ω = { (x,y,z)| x,y,z>=0 , x^2+y^2+z^2<=1 }
至急回答をお願いします。
できれば解説や計算過程を加えてもらえると幸いです。
よろしくお願いします。

回答No.1

tmiyoshi

曲座標に変換して、

I = ∫[0->1]∫[0->π/2]∫[0->π/2]r^2rcosθr^2sinθdrdθdφ

= ∫[0->1]∫[0->π/2]∫[0->π/2]r^5sinθcosθdrdθdφ

= ∫[0->1]r^5dr∫[0->π/2]1/2sin2θdθ∫[0->π/2]dφ

= [0->1]1/6r^6[0->π/2]-1/4cos2θ[0->π/2]φ

= 1/6*1/2*π/2

= π/24