連続固有値の疑問 （集合の濃度の点で）

質問

ヒルベルト空間が稠密ということは、状態ベクトルの全体がなす集合の濃度が　加算無限（X0）　と思います。
それなら、固有空間⊆ヒルベルト空間ですから、固有ベクトルの集合の濃度も、高々　X0
したがって、連続固有値のなす集合も、高々　X0　
ということは、連続固有値の集合の濃度は、連続（X1）　　じゃないことになります。
これって、連続固有値の定義と矛盾しませんか？
関連質問：
http://okwave.jp/qa/q7856953.html

回答No.2

eatern27 · ベストアンサー

その本が手元にないので「中間値で代表させる方法」がどういう方法であるか分かりませんが、

いずれにせよ異なる連続固有値に対応する"固有ベクトル"が必ずしも直交しないようになっているのだと思います。そうすると「固有ベクトルの集合」が、一次独立(?)であるという事が言えなくなりませんか？

お礼

すいません。
そもそも、ヒルベルト空間の濃度がＸ0　というのが、僕の思い込みでした。
（可分と可算無限をゴッチャにしていました）
お手間をとらせてすみません。
もっと、勉強します。

回答No.1

eatern27

連続固有値の定義をきちんと覚えていませんが、
連続固有値に対応する"固有ベクトル"は、ヒルベルト空間の元ではないですよね？

補足

はい、もちろん、そうです。
状態が連続固有値をとっている場合、そのままでは、ヒルベルト空間に入らないのは知っています。
この疑問は、清水明「新版　量子論の基礎」ｐ72にある「中間値で代表させる方法」で、
無理やりヒルベルト空間（可算無限）に入れた場合の疑問です。
前提を抜かしていて、すみません。