集合論 直積集合の定義式

質問

直積集合の定義を，冪（ベキ)集合を用いているものがあります．

直積集合自体の意味は，たとえば，X×Ｙで，デカルト平面を想像すればわかります．

その定義式は，

集合X，Ｙについて
｛ （x,y)∈ B(B(U{x,y})):x∈X,y∈Ｙ ｝
ただし，B（・）は，冪集合を表す記号．
また，U｛・｝は，和集合を作る記号で，A U B U C U・・と同じです．

冪集合でまた冪集合を作るような記号らへんのところも特に分かりづらいです．

回答No.1

kabaokaba · ベストアンサー

何が質問事項なのかよくわからないのですが，
順序対の方にも書いたのでついでに．
あと
｛ （x,y)∈ B(B(U{x,y})):x∈X,y∈Ｙ ｝
はおかしいと思う
書くなら，下のような感じかな．

直積は順序対の集合です．
これを前提にすれば，
ベキ集合で表せるのは明らかです．

P(X) で X のベキ集合（Power set）を表すことにします
・{x} は P(X) の元
・{x,y} は P(X∪Y) の元
・P(X) は P(X∪Y) の部分集合
です．
つまり，{x} と {x,y} は P(X∪Y) の元です．
そこで，{x} と {x,y} の順序対(x,y) = { {x}, {x,y} }を考えると
これは P(P(X∪Y))，P(X∪Y)のベキ集合，の元です．
つまり，
(x,y) ∈ P(P(X∪Y))
これを X，Y の元全部にわたって動かすことで定義される集合が
直積 X x Y です．

まじめにやるなら置換公理（もしくは分出公理）とかで
きっちり考える必要がありますし
上で「集合です」と言い切った部分も検証が必要です．
そもそも直積の定義はこういう書き下したものではなくって
性質で定義して，それを満たすものの存在を示すという方が
個人的には分かりやすいと思います．
＃圏論とかの「普遍性」の議論にも通じるものがありますしね

お礼

別の質問にも答えていただいているようでほんとにありがとうございました．

P(P(・))が特に知りたかったのでよく分かり納得しました．