【高校数学】二次関数・定点通過

質問

xの方程式ax^2-x+1が実数解を持つとき、
1つの解は2より大きくない正の解になることを示せ。
という問題を、
ax^2=x-1と分離し、f(x)=ax^2とg(x)=x-1の交点が
0<x<2に必ず1つあることを示すという方針でお願いいたします(>_<)

g(x)が定点通過することを利用するのかなと思ったのですが
利用の仕方がよく分からず…よろしければ回答お願いします！

回答No.3

nobuyuki0505 · ベストアンサー

説明します。場合わけは不要です。

(1) 判別式より、1-4a≧0
(2)0より大きく2より小さい解の存在を示したい。
よって、f(0),g(0),f(2),g(2)の値を計算。
f(0)=0,g(0)=-1.
より、f(0)>g(0).

f(2)=4a,g(2)=1
であるが、判別式より1≧4aなので、
g(2)≧f(2)

つまり、x=0のときはf(0)の方が大きいのだが、
x=2のときはg(2)の方が大きくなっている。

これはfとgの連続性を考えれば、0と2の間の点で、
fとgの値が等しくなる点が存在することを意味する。

これをpとすれば、0<p<2,f(p)=g(p)
となり、このpは題意を満たす解となる。

回答No.2

gohtraw

「xの方程式ax^2-x+1」というのは
「xの方程式ax^2-x+1=0」のことかな？

この方程式が実数解を持つことから解の判別式
D=１－4a>=0
a<=1/4

あとは
ｙ＝ｆ（ｘ）とｙ＝ｇ（ｘ）のグラフの関係（交点）を
・a<0の場合
・a=0の場合
・a=1/4の場合
について考えてみたら？0<a<1/4の場合のことは
a=1/4の結果から類推できるよ。

回答No.1

bran111

>ax^2=x-1と分離し、f(x)=ax^2とg(x)=x-1の交点が
0<x<2に必ず1つあることを示すという方針

ここまで方針を立てたのなら後は実行するのみ、難しいことは何もない。

F(x)=ax^2-x+1=0

が実解をもつためには

D=1-4a≧0

これより

a≦1/4　　　　　　　　　　　　　（1）

が必要。

この条件下でaをいろいろ変えてy=f(x)のグラフを書き、y=g(x)との交点を調べる。

y=f(x)とy=g(x)が接するのはa=1/4のときでこの時接点は(2,1/4)であることを確認してください。

a>1/4では実解はない。

0<a<1/4のとき交点はx=2の左右にできるのでF(x)=0の1つの解は2より大きくない正の解になる。

a=0ではy=f(x)=0とy=g(x)=x-1の交点はｘ＝1、よってF(x)=0は2より大きくない正の解一つを持つ。

a<0ではF(x)=0は0<ｘ<1に一つ、x<0に一つの実解をもつ、つまり1つの解は2より大きくない正の解になる。

ポイントはaの値による解の場合分けであり、a=1/4, a=0で分けていなければ0点。

以上、質問者の方針に沿ったが、この方針は高校１年生のやること。凡庸な方法である。

最も実践的なのは

ax^2-x+1＝0

より

a=(x-1)/x^2

これより

y=p(x)=(x-1)/x^2

と

y=aの交点を調べる。

y=p(x)が一義的に決まるので、これをx軸に平行な直線y=aがどのようにきるかを見れば一目瞭然。

この場合、y=p(x)が正確に書けることが実力そのものとなる。微分をつかえることが必要。