物理のばねの問題

質問

以外の問題の解答をお願いします！

水平面上にバネ定数kのばねを垂直に立てる。
ばねの直上、ｈの高さに置いた質量ｍの物体を落下させてばねに衝突させるとき、ばねは最大どれだけ縮むのか？
縮みの最大値をk、h、ｍ、および重力の加速度gで表す数式を
・ニュートンの運動方程式に基づいて
・力学的エネルギー保存の法則に基づいて
上の２つのやり方で導き、結果が一致することを示しなさい。
物体の大きさは無視して質点と考えることとする。

よろしくお願いします。

回答No.1

Tann3 · ベストアンサー

何が分からないからのご質問なのですか？

　「何が分からないのか」が分からなければ、解決も前進もありません。
　もう一回教科書に戻ってよく理解しましょう。

　おそらく「どのように解いたら良いのかわからない」ということだと思いますので、ちょっとだけヒントを。

Ａ．ニュートンの運動方程式に基づいて

　ニュートンの運動方程式は、

　　　（働く力） ＝（質量）×（加速度）
　　　　F = ma

でしたね。ここではこの式がどうなるのかを考えます。

　物体の落下は、ニュートンの運動方程式で書けば、上向きを正として、

　　　働く力（重力） ＝ －（質量）×（重力加速度）

です。

　このニュートン方程式から、落下速度、座標（物体の高さ方向の位置）を求めるには、「積分」が必要になりますが、それは解けるということでよろしいですね？

　時間の基準点 t = 0 のとき物体を落下させ始めると、このときの速度がゼロ。
　重力加速度によって、時間とともに落下速度が増加。
　これに伴い、物体の高さはどんどん低くなる。ｈだけ落下したところで、バネに到達。

　ここから先は、運動方程式が

　　働く力＝ －（重力）＋（バネの復元力）＝（質量）×（加速度）

に変わります。バネの復元力は、縮んだ長さ x に対して、

　　（復元力）＝　－ k * x
　　　　　（k：バネ定数）

でしたよね。（ここでは、縮んだ長さ x が下向きで「負」なので、復元力は上向き）

　バネが縮むに従い、復元力がどんどん大きくなり、やがて重力よりも大きくなって、
物体の落下速度は減少に転じます。そしてやがて落下速度はゼロになる。

　この「落下速度がゼロになる高さ」が、求める「バネが最大縮んだ」地点です。

　高さ方向の座標のどこを原点にするか、どちらを「正」にするか（高さ方向が「正」か、落下方向が「正」か）を決めて、方程式を立てて解いてください。

Ｂ．力学的エネルギー保存の法則に基づいて

　この場合には、バネに到達したときの物体の運動エネルギーが、バネが縮んだポテンシャルエネルギーに変わると考え、それが等しいことからバネの縮んだ長さを求めます。

　バネに到達したときの物体の運動エネルギーは、上の「Ａ」で求めた速度を使っても得られますが、「ｈだけ落下した」ということから重力による位置エネルギーからも求められます。

　バネが縮んだ長さ x に対して持つ蓄積エネルギーは、

　　（バネの蓄積エネルギー）＝　（1/2）* k * x^2
　　　　　（k：バネ定数）

でしたよね。

　これも、高さ方向の座標のどこを原点にするかを考えて、方程式を立てて解いてください。

お礼

質問内容がわかりにくく申し訳ありません。
Tann3さんのおっしゃる通り、どのように解いたらいいのがわかってなかったのです。

頂いたヒントを元にもう一度考えて直したところ無事に解くことができました！
ありがとうございました。