物理学の問題

質問

軽くて伸び縮みしない糸の両端に質量 m の物体 A と質量 M の物体 B をつなぎ，台の端の軽い滑車にかける。なめらかな水平面上に A を置き， B をつるすと床からの高さが h であった。この状態で静かに B をはなすと， B は落下しはじめた。B の加速度の大きさを a ，糸が B を引く力を T ，重力加速度の大きさを gとする。

このときB が床につくまでの時間はいくらか。

この問題がわかりません。

お願いします。

回答No.2

Quarks · ベストアンサー

オーソドックスには、Ａ，Ｂについて、運動方程式を立てて加速度を求め、等加速度直線運動の公式から、所要時間を求める、という解法が採られるでしょう。
その意味ではかなり変則的になりますが、次のような解き方もできます…

摩擦が無いので、系全体の力学的エネルギーが保存されます。
（物体には、重力（保存力）とＡが床面から受ける垂直抗力，ロープからの張力とが働いています。床面からの垂直抗力は仕事をしない力です。また、ロープの張力は保存力ではありませんが、Ａ，Ｂ，ロープ全体を物体系というまとまりとして見ると、ロープの張力は"内力"として考えることができるので、その仕事は０と考えて良いです。このことから、力学的エネルギーは保存されると考えて良いです。）

重力による位置エネルギーの減少量は
　Ｍｇｈ[J]
ですから、Ｂが着地する直前の２物体の速さをｖとすると、系の運動エネルギーは
　(1/2)(Ｍ＋ｍ）ｖ^2＝Ｍｇｈ
となるはずです。これより
　ｖ＝√{2Ｍｇｈ/(Ｍ＋ｍ)}　　式（１）

Ｂには　一定の大きさの力　重力Ｍｇ　と　張力Ｔ　が作用していますから
Ｂが、落下中に受ける力積は、落下時間を　ｔ　とすると
　（Ｍｇ－Ｔ）・ｔ
となり、これが、Ｂの運動量の変化　Ｍ・ｖ　に等しいはずです。
　(Ｍｇ－Ｔ)・t＝Ｍ・ｖ　　式（２）

同様に、Ａに作用している合力＝Ｔ　ですから
　Ｔ・ｔ＝ｍ・ｖ　　式（３）

（２），（３）から
　Ｍｇ・ｔ＝（Ｍ＋ｍ）ｖ

（１）を代入して整理すると
ｔ＝{(Ｍ＋ｍ)/Ｍｇ}・√{2Ｍｇｈ/(Ｍ＋ｍ)}
＝√{(2(Ｍ＋ｍ)ｈ)/Ｍｇ}

回答No.4

htms42

Ａ、Ｂを１つの系として運動方程式を立てればいいです。
運動する質量はｍ＋Ｍ、その運動の原因となる力はＭｇです。
これで運動方程式は
Ｍｇ＝（Ｍ＋ｍ）ａ
ａ＝Ｍｇ／（Ｍ＋ｍ）

ｈ＝ａｔ^2／２
で時間は出てきます。
ｔ＝√（２ｈ／ａ）＝√（２ｈ／ｇ）・√（（ｍ＋Ｍ）／Ｍ）

列車の運動を考える時、加速度は列車の全質量と全駆動力で求めることができます。車両をつなく連結器に働く力を考える必要はありません。（「内力は全体の運動には関係しない」と言ってもかまいません。こういう取り扱いが出来ないのであれば物体の運動を考える時に原子までばらして考えないといけないということになってしまいます。）

回答No.3

marsha110

回答１の補足

張力Tを消去した答は、

物体Bに関して垂直方向の運動方程式を考える。
下向きを正にして
Ma=Mg-T......(1)

物体Aに関して垂直方向の運動方程式を考える。
ma=T.......(2)

(1)・（2）より
a=Mg/(M+m)....(4)

等加速度運動の方程式
y=1/2*a*t^2+v0*t.....(5)

y=h,a=Mg/(M+m),v0=0(初速は0なので)を代入して、tを求めると

t=√(2h*(M+m)/Mg)となる。

こちらの解答の方が、出題者の意図している解答に近いと思います。

回答No.1

marsha110

物体Bに関して垂直方向の運動方程式を考える。
下向きを正にして
Ma=Mg-T -> a=(Mg-T)/M......(1)

等加速度運動の方程式
y=1/2*a*t^2+v0*t.....(2)

y=h,a=(Mg-t)/M,v0=0(初速は0なので)を代入して、tを求めると

t=√(2Mh/(Mg-T))となる。

問題文を読むと、摩擦が無い（なめらか）ので、物体Aに関しては、張力Tのみが関係していると思われます。