物理 弾性エネルギー

質問

弾性エネルギーの問題です。

全く分からなくて困ってます。

（１）～（７）に当てはまるように書く問題です。

図(a)のように，自然長 l ，ばね定数 k のばねをつけた質量 m の物体を，地上より高さ h から自由落下させた。地面に落下したとき，この物体がばねを通して地面から受ける最大衝撃力の大きさ F を求めたい。ただし，重力加速度の大きさを g とする。物体の大きさとばねの質量は無視するものとする。
　ばねの先端が着地した瞬間での運動エネルギーは，エネルギーの保存則から位置エネルギーの差 (1) に等しい。
　ばねが，その自然長 l から x だけ押し縮められたとき，物体は一瞬静止した。この瞬間，物体はばねから最も強い力 F= (2) を受ける。この F を決めるには，ばねの縮み x を求めなければならない。
　ばねが x だけ押し縮められたとき，物体は，重力による位置エネルギー (3) の他に，ばねの弾性力による位置エネルギー (4) をもっている。このときの物体の全エネルギーは，エネルギーの保存則から，ばねの先端が接地した瞬間に物体がもつ全エネルギー (5) に等しい。
　以上の考察と簡単な計算により，最大衝撃力 F は次の形に書くことができる。
　　　　　　F=mg(1+ (6) )
h=l のとき，すなわち図(b)のようにばねを接地して静かに物体をはなしたとき，物体がばねから受ける最大の力 F は， mg の (7) 倍である。

（１）はmg(H-h)でいいとおもいますが
それ以降がわかりません。

お願いします。

回答No.1

Quarks · ベストアンサー

オモリに働く力は、重力(保存力)とバネからの弾性力(保存力)だけです。
床からの垂直抗力が気に掛かるかも知れませんが、垂直抗力はバネには働きますが、オモリと床とが接触することは無いので、オモリに作用する力ではありませんし、垂直抗力は仕事をしていません。
オモリに働く力(正確には、オモリに働く力で、仕事をするもの)が保存力だけですから、力学的エネルギーＥは保存されることが保証されます。

重力による位置エネルギーＵを定める、高さの"基準"を床の高さに取ることにして、

手放された瞬間、
　オモリの速度は０ですから、運動エネルギーＫは０
　重力による位置エネルギーＵはｍｇｈ
バネが自然長ですから、
　弾性力による位置エネルギーＵkは０
∴　Ｅ＝０＋ｍｇｈ＋０＝ｍｇｈ
で、これがずっと一定に保たれるわけです。

バネの先端が床に達したとき
　運動エネルギーはＫ'
　Ｕ'＝ｍｇｌ
　Ｕk'＝０
　Ｅ＝Ｋ'＋ｍｇｌ＋０

∴Ｋ'＝ｍｇｈ－ｍｇｌ＝ｍｇ（ｈ－ｌ）

バネの縮みがｘになったとき、バネからの弾性力は、フックの法則から
　Ｆ＝ｋｘ
と書けます。また力学的エネルギーは、
　Ｋ"＝０
　Ｕ"＝ｍｇ(ｌ－ｘ)
　Ｕk"＝(1/2)ｋ・x^2
　Ｅ＝ｍｇ(ｌ－ｘ)＋(1/2)ｋ・x^2

エネルギー保存則より
∴ｍｇｈ＝ｍｇ(ｌ－ｘ)＋(1/2)ｋ・x^2
これはｘに関する2次方程式です
　ｋ・ｘ^2－２ｍｇ・ｘ－ｍｇ(ｈ－ｌ)＝０

　ｘ＝(1/k)・{ｍｇ±√(ｍ^2ｇ^2＋ｋｍｇ(ｈ－ｌ)}
ｘ＞０ですから　複合は＋でなければなりません
　ｘ＝(1/k)・{ｍｇ＋√(ｍ^2ｇ^2＋ｋｍｇ(ｈ－ｌ)}
∴Ｆ＝ｋｘ
　＝ｍｇ＋√(ｍ^2ｇ^2＋ｋｍｇ(ｈ－ｌ)

バネの弾性力とオモリの重力とが釣り合うときのバネの縮みをａとすると
　ｍｇ＝ｋ・ａ
ですから
　ｋ＝ｍｇ/ａ
これを使うと

　Ｆ＝ｍｇ＋ｍｇ・√(１＋(ｈ－ｌ)/ａ)
　＝ｍｇ・(１＋・√(１＋(ｈ－ｌ)/ａ))

ｈ＝ｌ　のときは
　Ｆ＝ｍｇ・(１＋・√(１＋(ｌ－ｌ)/ａ)
　＝ｍｇ・…