代数学の２項係数に詳しい方おしえてください。

質問

(1+x)^nの展開式において、16番目の係数と、
２６番目の係数とが等しい時、ｎの値を教えてください。
よろしくお願いします。

回答No.1

noname#598 · ベストアンサー

二項定理より、
16番目の係数はnC16、26番目の係数はnＣ26

最も安直な方法
nＣr=nＣ(n-r)より、n-16=26　n=42

上を言い換えただけですが、Ｃの定義式より、
nＣ16＝ｎ！/{16!(n-16)!}
nＣ26＝ｎ！/{26!(n-26)!}
これが等しいので、
16!(n-16)!=26!(n-26)!
この等式が成り立つためには、
n-16=26 かつ 16=n-26　となれば良いので、n=42
これが胡散臭いという場合は、
両辺を16!で割ると、26！/16!=26Ｐ10より、
(n-16)!=26Ｐ10(n-26)!
両辺を(n-26)!で割ると、
(n-16)Ｐ10=26Ｐ10
両辺に10!をかけると、
(n-16)!=26! よって、ｎ=42

３通りの解法を平行して書いたので、分かりにくいかもしれませんが・・・

回答No.3

noname#598

しまった。忘れてた。
１番目はnＣ0でしたね。

ってことは、両方とも１下がるから、
nC15=n=25 より、ｎ＝４０ですね。

いやはや失礼しました。
酔っ払いの戯言ということで許してくださいませ。

回答No.2

noname#598

すいません。
酔っ払っているもので、下から３行目以降を間違えました。

「両辺に10!をかけると、」
ではなく、「これが等しいから」です。
n-16=26 よって、ｎ=42

失礼しましたm(__)m