(2x^2 -1/x)^8 のxの係数、二項定理の使い方

質問

(2x^2 -1/x)^8　のxの係数、二項定理の使い方

上記の式の展開式における x の係数を求めたいのですが、
求め方がわかりません。

二項定理とやらを使うと求められるそうですが、肝心の二項定理の使い方がわかりません。

二項定理の使い方と、この問題の解き方を教えてください

回答No.1

hachijo · ベストアンサー

解答１（二項定理を使わないもの）

まず、x^2と1/xをそれぞれ何回かけると次数が1になるかを計算する。
全部で8回掛け合わせるので、x^2をa回、1/xを(8-a)回かけるとすると、xの係数を求めるのだから、
2a+(-1)(8-a)=1　∴a=3

つまり、xの係数は、与えられた式
(2x^2 -1/x)(2x^2 -1/x)(2x^2 -1/x)(2x^2 -1/x)(2x^2 -1/x)(2x^2 -1/x)(2x^2 -1/x)(2x^2 -1/x)
を展開したもののうち、2x^2を3回、-1/xを5回かけたものの総和の係数である。

この式を展開すると2^8=256個の項が出来るが、そのうちxの次数が1のもの、すなわち2x^2を3回、-1/xを5回かけたものは8C3=56個ある。従って、xの係数は

56 * (2x^2)^3 *(-1/x)^(-5) = 56 * 8* (-1)= -448x

以上より、求める係数は-448 (答)

解答２（二項定理を使うもの）

○a=3まで一緒

従って、二項定理の一般項より
8C3 * (2x^2)^3 *(-1/x)^(-5) = 56 * 8* (-1)= -448x

以上より、求める係数は-448 (答)

この問題は、二項定理の応用に属します。二項定理って何？という段階で解くべき問題ではありません。
まずは二項定理とは何なのかを教科書やHPを使って調べてみてください。それでも分からない場合は、具体的に何が分からないのかをここで質問してください。

お礼

二項定理を使わない解法まで、教えていただきありがとうございます。

二項定理については、教科書を読んだだけでは理解できなかったのでネットでも調べてみたいと思います。

回答No.2

noname#116057

(2x^2－1/x)^8＝(2x^2－x^(－1))^8と変形してrを求める。
2r－(8－r)＝1　3r＝9　r＝3
よってxの係数は8C3×2^3×(－1)^(8－3)＝56×8×(－1)＝－448

二項定理
(a＋b)^n＝nC0b^n＋nC1ab^(n－1)＋nC2a^2b^(n－2)・・・＋nCr・a^r・b^(n－r)
＋・・・nC(n－2)a^(n－2)b^2＋nC(n－1)a^(n－1)b＋nCna^n
本問はn＝8の場合。r＝3なので，n－r＝5となる。

お礼

二項定理って難しいですね。

回答ありがとうございました。