図形と相似

質問

数学で分からない問題があります。

この図で、（1）四角形AFCDの面積を求めよ。
　　　　　（2）BE:EDを求めよ。
　　　　　（3）FG:BCを求めよ。
　　　　　（4）四角形EFHGの面積を求めよ。
分かる箇所だけでも教えていただきたいです。
お願いします！！

回答No.5

yyssaa · ベストアンサー

(4)を含めて再回答します。
(1）四角形AFCDの面積を求めよ。
＞△ADE∽△BCEだからAE/CE=DE/BE=AD/BC=rとおき、
△ADEの面積=sとおくと
△CDEの面積=s/r、△ABEの面積=s/r、△BCEの面積=s/r^2
△ABFの面積=△ADFの面積だから△AEFの面積=xとすると
s+x=s/r-xよりx=(1-r)s/(2r)で△AEFの面積=(1-r)s/(2r)
よってDE/EF=△ADEの面積/△AEFの面積
=s/{(1-r)s/(2r)}=(2r)/(1-r)
△CDEの面積/△CEFの面積=DE/EF=(2r)/(1-r)だから
△CEFの面積=△CDEの面積(1-r)/(2r)=(1-r)s/(2r^2)
△AFCの面積=△AEFの面積+△CEFの面積
=(1-r)s/(2r)+(1-r)s/(2r^2)
=(1-r^2)s/(2r^2)=24・・・・・(1)
台形ABCDの面積=s+s/r^2+2s/r=(r+1)^2s/r^2=120・・・・・(2)
(1)(2)を連立で解いてr、sを求めるとr＞0の解は
r=3/7、s=54/5
四角形AFCDの面積=△AFCの面積+△ACDの面積
=24+s+s/r=24+54/5+(54/5)*(7/3)=60・・・答
(2）BE:EDを求めよ。
＞BE:ED=1:r=1:3/7=7:3・・・答
(3）FG:BCを求めよ。
＞△EFG∽△BCEだからFG:BC=EF:BE
=△AEFの面積:△ABEの面積=(1-r)s/(2r):s/r
=(1-r)/2:1=(1-3/7)/2:1=(2/7):1=2:7・・・答
(4）四角形EFHGの面積を求めよ。
＞△EFGの面積=△BCEの面積*(2/7)^2=(s/r^2)*(4/49)
={(54/5)/(3/7)^2}*(4/49)=24/5
△CFGの面積=△AFCの面積/2=12
△FGH∽△BCHだからFH/CH=FG/BC=2/7、
FH/CF=FH/(FH+CH)=1/(1+CH/FH)=1/(1+7/2)=2/9
△FGHの面積=△CFGの面積*FH/CF=12*2/9=8/3
四角形EFHGの面積=△EFGの面積+△FGHの面積
=24/5+8/3=112/15・・・答

お礼

丁寧にご解説していただき、ありがとうございました。

回答No.4

noname#215361

ANo.3の訂正です。

(2)
最後の行
BE：ED=（5+2）：（5-2）=7：3は、BE：ED=（5+2）：3=7：3で可

(3)
上から2行目
誤：「面積も等しく60」→正：「面積も等しい」

回答No.3

noname#215361

(1)
FがBDの中点であることから、△AFDの面積は△ABDの面積の1/2
同様に、△CDFの面積は△CDBの面積の1/2
よって、四角形AFCDの面積は台形ABCDの面積の1/2であり120/2=60

(2)
四角形AFCDを△AFCと△ADCに分けて考えると、
△AFCの面積は24であるから、△ADCの面積は60-24=36
△AFCと△ADCではACが共通であることから、これらの面積の比がACを底辺としたときの高さの比になり、さらにFEとDEの比になるので、FE：DE=24：36=2：3
よって、BE：ED=（5+2）：（5-2）=7：3

(3)
四角形ABGDの面積も同様に60であり、△DABと△ADCは底辺と高さがそれぞれ等しいので面積も等しく60
よって、△DABの面積は36、△DGBの面積は24、GE：AE=2：3
△GEFと△AEDにおいて、∠GEF=AED（対頂角）、DE：FE=AE：GE=3：2
よって、2辺の比とその間の角がそれぞれ等しく相似であり、AD：FG=3：2
また、△EBCと△EDAにおいて、∠BCE=∠DAE（錯角）、∠CEB=∠AED（対頂角）
よって、2角がそれぞれ等しく相似であり、相似比はBE：ED=7：3
これから、BC：AD=7：3
以上から、FG：BC=2：7

(4)
便宜的にAD=3、BC=7とし、台形ABCDの高さをhとすると、
（3+7）h/2=5h=120→h=24
四角形EFHGの面積は、△FHGと△GEFの和になる
△FHGの面積は、2*24/2*2/（7+2）/2=8/3
△GEFの面積は、2*24/2*2/（2+3）/2=24/5
よって、四角形EFHGの面積は、8/3+24/5=112/15

お礼

分かりやすくご解説していただいたき、ありがとうございました。

回答No.2

yyssaa

取り敢えず（３）まで回答します。
（1）四角形AFCDの面積を求めよ。
＞△ADE∽△BCEだからAE/CE=DE/BE=AD/BC=rとおき、
△ADEの面積=sとおくと
△CDEの面積=s/r、△ABEの面積=s/r、△BCEの面積=s/r^2
△ABFの面積=△ADFの面積だから△AEFの面積=xとすると
s+x=s/r-xよりx=(1-r)s/(2r)で△AEFの面積=(1-r)s/(2r)
よってDE/EF=△ADEの面積/△AEFの面積=s/{(1-r)s/(2r)}=(2r)/(1-r)
△CDEの面積/△CEFの面積=DE/EF=(2r)/(1-r)だから
△CEFの面積=△CDEの面積(1-r)/(2r)=(1-r)s/(2r^2)
△AFCの面積=△AEFの面積+△CEFの面積=(1-r)s/(2r)+(1-r)s/(2r^2)
=(1-r^2)s/(2r^2)=24・・・・・(1)
台形ABCDの面積=s+s/r^2+2s/r=(r+1)^2s/r^2=120・・・・・(2)
(1)(2)を連立で解いてr、sを求めるとr＞0の解はr=3/7、s=54/5
四角形AFCDの面積=△AFCの面積+△ACDの面積
=24+s+s/r=24+54/5+(54/5)*(7/3)=60・・・答
(2）BE:EDを求めよ。
＞BE:ED=1:r=1:3/7=7:3・・・答
(3）FG:BCを求めよ。
＞△EFG∽△EBCだからFG:BC=EF:BE
=△AEFの面積:△ABEの面積=(1-r)s/(2r):s/r
=(1-r)/2:1=(1-3/7)/2:1=(2/7):1=2:7・・・答

回答No.1

gohtraw

(1)
四角形AFCDの面積は△AFDとCDFの面積の和です。
△AFDの面積は△ABDの面積の１／２（FはBDの中点だから）であり、
△CDFの面積は△BCDの面積の１／２（同上）です。
従って、四角形AFCDの面積は△ABDの面積と△BCDの面積の和の
１／２であり、台形ABCDの面積の１／２、つまり６０です。

(2)
△AFCの面積は△AEFとCEFの面積の和です。
△AEFの面積：△ADFの面積＝EF：DF
△CEFの面積：△CDFの面積＝EF:DF
なので、
△AFCの面積：四角形AFCDの面積＝EF:DF
なので、
EF:DF＝２４：６０
　　　　　＝２：５
よって
BE:ED=5+2：5-2
　　　　　＝7:3

(3)
上記より△ACDの面積は
60-24=３６
なので、△ABCの面積は
120-36＝８４
よってAD:BC=36:84=3:7

ABおよびCDの中点をそれぞれP,Qとすると、
直線PQはFおよびGを通り、ADおよびBCと平行です。
PQ=（AD+BC)/2　なので、
PQ:AD:BC=5:3:7
PF=GQ=AD/2　なので
FG:BC=PQ-PF-GQ：BC
　　　　　＝5-3：７
　　　　　＝2:7

（４）
AからBCに下ろした垂線の長さをｈとすると、台形ABCDの面積は
（AD+BC)*h/２＝(3BC/7+BC)*h/2
　　　　　　　　　　　＝１０BC／７*h/2
　　　　　　　　　　　＝１２０
台形ADGFの面積は
(AD+FG)*h/4　であり、FG=２ＢＣ／7　なので、
(AD+FG)*h/4=5BC/7*h/4
　　　　　　　　　　　＝30
(2)の結果より△EFGの面積は△DFGの面積の2/5であり、
△DFGの面積は台形ADFGの面積の2/5なので、△EFGの
面積は台形ADFGの4/25、つまり
30*4/25=24/5

同様に台形FBCGの面積は
(FG+BC)*h/4=(2BC/7+BC)*h/4
　　　　　　　　　　＝9BC/7*h/4
　　　　　　　　　　=54
△FGHと△CBHは相似で、FG:CB=2:7なので、
GH:GB=2:9　です。よって
△FGHの面積は△BFGの2/9であり、△BFGの面積は
台形FBCGの面積の2/9なので、△FGHの面積は
台形FBCGの4/81、つまり
54*4/81＝8/3

以上より四角形EFHGの面積は
24/5+8/3=(72+40)/15
　　　　　　　=112/15

お礼

分かりやすくご解説していただき、ありがとうございました。