数学図形

質問

数学で分からない問題があります。
この図で、（1）□ABFEの面積は、△ABQの面積の何倍か求めよ。
　　　　　（2）AM:MBを求めよ。

解き方を教えていただきたいです。
お願いします！

回答No.2

Proof4 · ベストアンサー

画像が非常に見づらくなりましたので再投稿します。すみません。以下は同じ内容のものです。
――――――――――
DE = BC,DE//BCより
DB//EC
AE = BF,DE = BCより
AD = CF,AC//DF

（１）
∠ADQ = ∠AEC,∠AQD = ∠ACEより
△ADQは△AECと相似
よってAQ:AC = 2:3
したがって△ABQ:△BCQ = 2:3
即ち△ABQ:△ABC = 2:5 ・・・<1>
また、△ABC:△CEF = 3:2
△CEF = (2/3)△ABC ・・・<2>
いま、△CEF+△ABC = (1/2)□ABFE
2(△CEF+△ABC) = □ABFE
<2>より
2*(5/3)△ABC = □ABFE
<1>より
△ABC = (5/2)△ABQであるので、
2*(5/3)*(5/2)△ABQ = □ABFE
(25/3)△ABQ = □ABFE
よって 25/3倍 ・・・（答）

（２）
BC:CF = 3:2, CQ:QA = 3:2より
メネラウスの定理から
(BF/FC)(CQ/QA)(AM/MB) = 1
(5/2)(3/2)(AM/MB) = 1
AM/MB = 4/15
∴ AM:MB = 4:15 ・・・（答）

お礼

ご丁寧に解説してくださりありがとうございました。

回答No.3

noname#215361

中学数学であるとの断りが無いので、また『メネラウスの定理』を使った回答が寄せられてしまいましたね。
いずれにせよ、もう『丸投げ』は止めましょう。
なお、以下同位角・錯角・対頂角の説明は、全て省略します。

(1)
△AQDと△CQBは、2角がそれぞれ等しく相似であり、相似比は2：3
□ABFEの底辺をBF=5とし高さをhとすると、この面積は5h
△ABDの面積は2h/2=h
△AQDの面積は2*2h/5/2=2h/5
よって、△ABQの面積はh-2h/5=3h/5
答えは、5h/（3h/5）=25/3倍

(2)
点Cを通り辺ABに平行な直線を引き、この直線と線分QRの交点をGとする
△AQMと△CQGは、2角がそれぞれ等しく相似であり、相似比は2：3
よって、AM：CG=2：3
△CRGと△ERNは、2角がそれぞれ等しく相似であり、相似比は2：3
よって、CG：EN=2：3
これから、AM：EN=2：3*3/2=2：9/2=4：9
また、△AQMと△FRNは、1辺とその両端の角がそれぞれ等しく合同であり、AM=FN
よって、MB=EN
以上から、AM：MB=AM：EN=4：9

お礼

ありがとうございました。

回答No.1

Proof4

添付画像の通りです。
手書きなので見づらいところもあるかもしれませんが、あしからず。