[高校数学III]一般項が求まらない２項間漸化式の極限
一般項が求まらない(均衡値は求まる)２項間漸化式の極限の問題について、いくつか質問があります。
(質問１)
このタイプの問題は定石のようなものがあるようで、
最初に均衡値αを求めて
最終的にlim[n->∞]|a_n-α|=0
を示せばよい。
と書かれています。
ただ、この解法には意味のようなものが書いておらず、なぜそんな事をするのかが今一つ分かりません。
この解法には数学的な意味だとかこの解法を採用する必然性だとかは特に無い、所謂テクニックのようなものなのでしょうか？
(質問２)
上の解法の多くは結論部分あたりで、
lim[n->∞]|a_n-α|=0
∴lim[n->∞]a_n=α…(答)
という論理展開がされていますが、なぜそう言えるのか分かりません。
n->∞のときa_nが収束することを示す必要があるのではないかと思うのですが、これは証明なしで用いても良いのでしょうか？
もっとも、このタイプの問題は極限を求めさせる前に有界であることと単調数列であることを示させる小問があることが多いみたいですが、これらの事からn->∞のときa_nが収束することは事実上証明されていると見てよいのでしょうか？
(質問３)
いくつかの参考書にはこのタイプの問題の別解や参考として、
n->∞のときa_nが収束することを示してから
lim[n->∞]a_n=lim[n->]a_(n+1)=αとして与漸化式より均衡値を求め、それを(答)とする解法が載っています。
ただ、(質問１)の解法のみを採用する参考書では「初めに求めたαをそのまま(答)としてはならない」と注意書きのあるものもあります。
この、αをそのまま(答)とする解法は大学入試で使ってはいけないのでしょうか？
この解法が使えるとすれば、多くの参考書で(質問１)の解法が採用されている意義が余計に分からなくなりますし、使えないとすれば、なぜ使えないのかが分かりません。
長い質問ばかりで恐縮ですがお教え頂ければ有難いです、宜しくお願いします。
お礼
教えていただいた定理などを調べさせていただき、無事答えにたどり着くことができました。本当にありがとうございました。
補足
全部使ってとくということでしょうか？