数学 極限の問題

質問

x^2{1-cos(1/x)}　　（x→∞）

この解法がわかりません。解き方を教えてください！！
よろしくおねがいします。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

ロピタルの定理を使わない方法での解法は以下の通り。

　L=lim（x→∞）x^2{1-cos(1/x)}
t=1/xとおくと x→∞ のとき t→0となるから
　L=lim (t→0) {1-cos(t)}/t^2
分子・分母に{1+cos(t)}を掛けると
分子={1-cos(t)}{1+cos(t)}=1-cos^2(t)={sin(x)}^2となるから
L=lim (t→0) {sin(t)}^2/[t^2*{1+cos(t)}]
　 =lim (t→0) {sin(t)/t}^2*[1/{1+cos(t)}]
lim (t→0) {sin(t)/t}=1より
　L=1^2*{1/(1+1)}=1/2

お礼

回答ありがとうございました。
とてもわかりやすかったです！

回答No.3

alice_44

いろいろ凝った計算をしてもよいのだけれど、
普通に、cos をテイラー展開する手もあるよ。
cos z = 1 -(1/2)z^2 +o(z^3) に z = 1/x を代入して、
(x^2){1-cos(1/x)} = (1/2) -o(1/x) となる。
よって、x→∞ のとき 与式→(1/2)+0。

お礼

回答ありがとうございました。

回答No.1

spring135

y=1/xとおく。

P=lim(x→∞)[x^2(1-cos(1/x))]

=lim(y→0)[(1-cosy)/y^2]

ロピタルの定理により

P=lim(y→0)[siny/2y]

さらにロピタルの定理により

P=lim(y→0)[cosy/2]=1/2

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AD%E3%83%94%E3%82%BF%E3%83%AB%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86

お礼

回答ありがとうございました。