複素関数 証明問題

質問

C: Re^it (0 ≦ t ≦ π)
| f (z) | ≦ 1/R　（f ( z ) は C で正則とする）
であるとき, |∫[- R → R] f ( x ) dx | ≦　πの証明
のやり方について教えて下さい.

C2: t (-R ≦　t ≦　R)として, 閉曲線C + C2 を考えると思うのですが,
f ( z ) をどのように考えるかが分かりません.

よろしくお願いします.

回答No.1

ask-it-aurora

おそらく質問にある条件（正則性）ではすなおに証明できないので，もうすこしキツイ仮定の下で示します．

まず
C1 = { R*exp(it) : 0 ≦ t ≦ π },
C2 = { t : -R ≦ t ≦ +R },
D = { r*exp(it) : 0 ≦ r ≦ R, 0 ≦ t ≦ π }
とおいて D の境界 C = C1 ∪ C2 を考えます．関数 f が D を含む領域で正則と仮定すればコーシーの積分定理より
∫_C f(z) dz = 0
です．よって
∫_C2 f(z) dz = -∫_C1 f(z) dz
なので不等式が次のように得られます．
|∫_C2 f(z) dz|
= |∫_C1 f(z) dz|
≦ ∫_C1 |f(z)| dz
≦ (1/R)*∫_C1 dz
= (πR)/R = π