複素関数の積分について教えてください。

質問

複素関数で、次のような問題がだされました。
Cをx=cosyに沿って１から-1＋πiに至る曲線とするとき、次の積分を求めよ。
∫ｃ　ze^zdz

よくわかってないので、次のような回答になってしまいました。
根拠はありません。

f(z)=ze^zは前平面で正則なので、f(z)の原始関数Ｆ（ｚ)の原始関数によって
∫c (ze^z)dz=[ze^z]（←πiから1まで）-[e^z](←πiから1からまで）
=πie^πi-e-(e^πi-e)

以上です。
どなたか、正しい答えを教えてください。

回答No.4

arrysthmia

＞ あとe^iπは1になるんですね。

いいえ、e^(iπ) = -1 です。

[ (z-1) e^z ][1 → -1+πi]
= (-1+πi -1) e^(-1+πi) - (1 -1) e^1
= (πi-2)・e^(-1)・e^(πi) - 0
= (πi-2)・e^(-1)・(-1)
= (2-πi)/e

回答No.3

info22

#2です。
A#2の補足の質問の回答
>始点と終点だけで決まるんですね。
f(z)が正則な関数だからそうなります。

>あとe^(iπ)は1になるんですね。
1でなく「-1」です。
オイラーの公式から
e^(iπ)=cosπ+i sinπ=(-1)+i(0)=-1
ですね。
オイラーの公式をちゃんと使えるようにしておいて下さい。

回答No.2

info22

>正しい答えを教えてください。
ze^zは正則な関数なので積分路Cの経路に依存せず
始点と終点にのみ依存するから
∫c (ze^z)dz=[(z-1)e^z][1→-1+πi]=(πi-2)/e

お礼

わかりやすい説明ありがとうございます。
始点と終点だけで決まるんですね。

あとe^iπは1になるんですね。やはり１に直した方がいいでしょうか？

回答No.1

arrysthmia

やり方は、それでよいです。
z e^z が正則ですから、積分は経路に依存しません。
コーシーの積分定理： http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%82%B7%E3%83%BC%E3%81%AE%E7%A9%8D%E5%88%86%E5%AE%9A%E7%90%86

「πiから1まで」ではなく、「１から-1＋πiまで」だと思いますが…

お礼

正則だと積分経路に依存しないんですね。

あと積分経路についてですが、１から-1＋πiままでいいんですね。
間違ってました。

回答ありがとうございました。とても助かります。