複素関数の同等角について

質問

次の問題なのですが、証明がわかりません。
f(z)=u(x,y)+iv(x,y)(z=x+iy)を正則関数とし、写像φ：(x、y)∈R^2　→(u(x,y),v(x,y))∈R^2　について考える。
f'(z。)≠０と仮定する。((x。，y。)を通り、角度αで交わる）2本の直線L1,L2を以下で定める：
L1:(x,y)=(x。+tcosθ，y。+tsinθ)　(t∈R）
L2:(x,y)=(x。+tcos(θ+α)，y。+tsin(θ+α))　
このとき、曲線φ(L1)、φ（L2）が点φ(x。，y。)で交わるときの角度を求めよ。

という問題なんですが。答えは、等角性からαと思うんですが、導き出し方がわかりません。というのも、パラメータ表示されているので、微分もうまくいかないので、接ベクトルも出せない状況です。お願いします。

回答No.1

keyguy · ベストアンサー

z0=x0+i・y0とし
L1上z0に近い点をz1とし
L2上z0に近い点をz2とすると
微分の定義からほぼ
(f(z1)-f(z0))/(z1-z0)=f'(z0)
(f(z2)-f(z0))/(z2-z0)=f'(z0)
f'(z0)=0でない場合上式を下式で辺辺割って整理すれば
(f(z1)-f(z0))/(f(z2)-f(z0))=(z1-z0)/(z2-z0)
左辺の偏角はφ(L1)とφ(L2)のなす角であり
右辺の偏角はL1とL2のなす角であり
両辺が等しい以上両辺の偏角は等しいから…

お礼

ありがとうございます。自分は、φ（L１）＝（u(x+cosθ、y＋sinθ），・・）とおいてから、どうしていいかわからずに終わっていましたが、微分の公式をもちいてやるんですね。わかりました。あと、もうひとつですが、このやり方は、直線でなくても使えるのでしょうか？

回答No.2

keyguy

直線でなくても使えるのでしょうか？：

曲線L1と曲線L2がありz0をその交点とする
L1上z0に近い点をz1とし
L2上z0に近い点をz2とすると
微分の定義からほぼ
(f(z1)-f(z0))/(z1-z0)=f'(z0)
(f(z2)-f(z0))/(z2-z0)=f'(z0)
f'(z0)=0でない場合上式を下式で辺辺割って整理すれば
(f(z1)-f(z0))/(f(z2)-f(z0))=(z1-z0)/(z2-z0)
左辺の偏角はφ(L1)とφ(L2)のなす角であり
右辺の偏角はL1とL2のなす角であり
両辺が等しい以上両辺の偏角は等しいから…

お礼

ありがとうございます。本当に参考になりました。