複素関数

質問

Cをy=x^2上を0から1+iに向かう曲線とする。
∫c(sinz + y)dz を求めよ。
ちなみにsinの変数はzのみでyとは別々の項です。

これを解くために代入や微分等を行って式変形をしたところ、∫[0→1]{sin(t+it^2)+t^2(2ti+1)dt} という式を立てることが出来たのですが、ここから行き詰っています。
sin(t+it^2)の積分ができないのですが、上手い解法はありますでしょうか？
ご指南お願い致します。

回答No.1

rnakamra · ベストアンサー

問題がよく分かっていないのですが、x,yというのはそれぞれzの実部・虚部を表すということでよいのでしょうか。問題を少しはしょりすぎです。

先ず、あなたの出した式ですが}の位置が間違にっています。
(2ti+1)はsin()にもかけられていないといけません。
この式の積分はやりたくない。

この問題の場合、sinzの積分とyの積分をわけることを考える。
sinzは複素平面全域で正則であるがyは明らかに違う。(コーシー・リーマンの関係式を満たさない)
sinzに関しては始点と終点が同じであればどのような経路をとって積分しても問題はない。
x軸上を0→1まで積分したものとy軸に平行に1→1+iまで積分したものを足してもよい。
ぶっちゃけていえばそのまま積分しても問題ない。

yに関しては正則ではないのでこの様な手法をとることができない。ただ、質問者が計算しているように変数変換すれば問題なく積分計算可能。

お礼

ご回答ありがとうございます。
＞(2ti+1)はsin()にもかけられていないといけません。
おっしゃる通りです。掛け忘れていました。
ご指導いただいたおかげで、計算できました。
ありがとうございました。