複素関数の問題の解答解説を教えてください。

質問

複素関数の問題の解答解説を教えてください。
f(z)は正則でf(1) = 2(1 + i), f(－it) = f(it)および∫[0→2]f(it)/((t^2)+1) dt = πi を満たすとする。
c ∶ z = 2e^(iθ) (-π/2≤ θ ≤π/2) とするとき∫c f(z)/((z^2)-1) dz を計算しろ

お願いします。

回答No.1

jcpmutura · ベストアンサー

f(z)
は正則で
f(1)=2(1+i),
f(-it)=f(it)
および
∫[0→2]f(it)/{(t^2)+1}dt=πi
を満たすとする。
c={z=2e^(iθ)|-π/2≦θ≦π/2}
B={z=it|2≧t≧-2}
∂D=c∪B
g(z)=f(z)/{(z^2)-1}
とするとき
g(z)はD内のz=1で1位の特異点を持ち
それ以外のD∪∂Dの点で正則だから
∫∂D g(z)dz
=2πi{R(g(z),z=1)}
=2πi{lim_{z→1}f(z)/(z+1)}
=2πi{f(1)/2}
=2πi{2(1+i)/2}
=2πi(1+i)
=2π(i-1)………………(1)

∫B g(z)dz
=∫B f(z)/{(z^2)-1}dz
=i∫_{2→-2}f(it)/{(it)^2-1}dt
=i∫_{-2→2}f(it)/{(t^2)+1}dt
=i[∫_{0→2}f(-it)/{(t^2)+1}dt+∫_{0→2}f(it)/{(t^2)+1}dt]
=2i∫_{0→2}f(it)/{(t^2)+1}dt
=-2π……………………(2)

∫c g(z)dz
=∫c f(z)/{(z^2)-1} dz
=∫∂D f(z)/{(z^2)-1} dz-∫B f(z)/{(z^2)-1} dz
↓(1),(2)から
=2π(i-1)-(-2π)
=2π(i-1)+2π
=2πi

お礼

回答ありがとうございました。助かります。