センター物理 薄膜 再

質問

図3のように2枚の透明な平板ガラスA,Bの一端をお左端Oで重ね、他端に金属の薄い箔をはさむ
上方から波長λの単色光を入射させて、上方からその反射光を観察すると明暗の縞模様が観察された。

これはAの下面で反射した光とBの上面で反射した光が重なって干渉することによって生じたものである。

なお、Aの下面での反射では自由端反射と同じく、反射の際に位相の変化はない、一方Bの上面での反射では固定端反射と同じく、反射の際に位相が逆になる、又、図3で金属箔の厚さは誇張して描かれている
次にAの中央付近に上方から力を加えてAをたわませ、Aが十分に大きな半径の円筒の一部となるようにした
このとき、ガラス板Aをたわませる前の縞模様とたわませた後に上方から観察される明暗の縞模様の概形はどうなるか、

解説 図3の設定のとき、隣り合う明線の間隔をΔx,Bに対するAの傾斜角をθとすると
ｄ’－ｄ＝Δxtanθ=λ/2 よってΔx=λ/2tanθ これはAの傾きが緩やかでθが小さいほど明線の間隔はひろくなり、Aの傾きが急でθが大きいほど、明線の間隔は狭くなることを示す。

Aをたわませると、図3-3に示すように左端Oに近いところではAの傾きが緩やかで明線の間隔が広く、左端Oから遠いところではAの傾きが急で明線の間隔が狭くなる。

疑問なのはAをたわませると、左端Oに近いところではAの傾きが緩やかで明線の間隔が広く、左端Oから遠いところではAの傾きが急で明線の間隔が狭くなる。

たわんだら右端に行くほど角度が急になるのは分かりますが、Δx=λ/2tanθこの式のtanθはたわむ前は一定でしたがたわむと場所によってθの値が違いますよね。

しかし左辺は間隔ということは2点間の距離ですよね、2点間でθの値が違うのに何故間隔なんて求めることが出きるんですか？それによって広くなったとか狭くなったとかどうやって分かるんですか？　それともΔxというのはその点での角度を元に次の明線までの距離を表しているんですか？

回答No.1

carsys · ベストアンサー

機械系の大学２回生です。

良いところに目を付けられていると思います。
質問者様としては、
Aがたわんでいる状態ではΔx=λ/2tanθの右辺のθは場所によって変化するのに、
この式で明線の間隔を表すことができる理由が分からないということだと思います。

実は質問者様の言われていることはゴモットモです。解答のやり方は正確ではありません。

ｄ’－ｄ＝Δxtanθ=λ/2
この式は、Aがたわんでいない状態について立てたものなので、θは定数と考えていました。
しかし、Aがたわむとθはxの関数となり、定数ではなくなりますね。これによって混乱が生じます。

質問者様が書かれている最後の一文
>それともΔxというのはその点での角度を元に次の明線までの距離を表しているんですか？
が重要になります。
これは実際には間違いなのですが、この問題を解くにあたっては、あたかもこの文章が正しいかのようにして解きます。

まず、正確な話をします。

まずある明線位置から右向きに微小区間dxをとると、その区間でのレンズの上昇はdxtanθとなります。(θはxの関数です)(図１)
これを、次の明線まで積分します。即ち∫(tanθ)dx=λ/2と書きます。

しかしこれでは解くことができません。なぜならば、問題文からはθがxのどのような関数になるかが分からないからです。θはたわんだAの形状に依存しています。

そこで、仕方なく「大雑把に」行きます。問題文にも「概形」を描けとあるので問題ないはずです。
位置xの変化によって確かにθは変化しますが、この変化を明線間に限ってはないものとして考えます。

ここが分かりにくいかもしれません。明線がイ、ロ、ハ、ニ...とあるとしましょう。それぞれの明線の位置ではθの値は異なりますが、明線間では一定として考えます。(図２)これによって、レンズの形がカクカクになったことになります。

こうすると、例えばロとハに関しては、Δxtanθ2=λ/2となりますね。

最後に、θの変化について考えます。これは分かっておられるかもしれませんが、Oに近いところではθは小さく、離れると大きくなるので...ということで解答にたどり着きます。

お礼

御返答有難うございます

補足

>この問題を解くにあたっては、あたかもこの文章が正しいかのようにして解きます。
高校物理ではこの考え方で合っているということですか？
>即ち∫(tanθ)dx=λ/2と書きます。
何で、次の明線まで積分するときの、この式が出てくるのですか？

回答No.4

carsys

3つ目の補足質問について回答します。
分からないところが明確になっていて、大分理解に近づいてきたように思います。

問題文から、θについて分かることは何でしょうか。ガラスがたわんでいない状態では、位置xに関係なく同じ値を取りますね。しかし、一度ガラスがたわむとθはxに依存して変化する関数になってしまい、θは「少なくともOに近いところでは小さく、離れると大きい」ということしか分からなくなります。

∫(tanθ(x))dxの計算についてですが、何度か書いたようにθはxの関数ですので、実際に計算しようとすると、θ(x)をxの式で表す必要があります。問題においてはこの式が与えられていないので、積分を計算することはできませんが、仮にθ(x)=x/2が与えられたとすると∫(tanθ(x))dx=∫(tan(x/2))dxとなり、計算できますね。

なお、確かにガラスの上昇量は上向きに伸びていきますが、ここではこれをxの関数で表して積分することを考えているので、dyではなくdxとなります。

たわんだガラスの曲面を折れ線に近似する考え方は、正確ではありませんが、θ(x)の中身が分からない以上は積分を使うことができないので、この問題を解くうえではその点での角度でガラスの上昇量を表していると考えて解くしかないです。(また、そうすることが求められています。)

お礼

御返答有難うございます

補足

>dyではなくdxとなります。
ですが、dxだと横の微小量を足していくイメージなのですが上昇量を足していくのではないのですか？

回答No.3

carsys

2つ目の補足質問について回答します。

傾きtanθをxで積分する理由ですが、以下の説明でいかがでしょうか。

θはxの関数なので、その意味を含めてθ(x)と書いておくことにします。
右向きにとった微小区間dxについて、その区間でのガラスAの上昇距離が(tanθ(x))dxとなることは分かりますでしょうか。θはxの関数ですので、それに積分記号をつけたものがある区間内でのガラスAの上昇距離の総和ということになります。

もしこの説明で理解できない場合は、申し訳ありませんが、高校で習わない範囲の数学を使っている可能性があります。問題を解く分には、初めの回答内容のガラスAの曲面を折れ線に近似する方法を理解していただければ十分かと思います。

ただ、質問者様が指摘された通り、θの値が変数である以上は、単純に(近似しなければ)Δx=λ/2tanθの式を使うことはできない、ということは理解しておいていただきたいと思います。

お礼

御返答有難うございます

補足

>上昇距離が(tanθ(x))dxとなることは分かりますでしょうか。
それは分かります、でも積分する時何で積分するんですか？xで積分するんだったら∫[はじめ→終わり](tanθ(x))dx×dxとかになるんですか？でも上の長さを積分するんだからdyになるんじゃないんですか？

>高校で習わない範囲の数学を使っている可能性があります
使っている内容は高校数学でもやる積分だと思います

>初めの回答内容のガラスAの曲面を折れ線に近似する方法を理解していただければ十分かと思います。
こちらで書いたΔxというのはその点での角度を元に次の明線までの距離を表しているという事でいいんですか？

回答No.2

carsys

補足質問に対して回答します。

高校物理の考え方として合っているどうかですが、正直に申し上げて「わかりません」。高校物理のカバーする範囲が私自身に分からないためです。
少なくともこの問題ではたわみの正確な形が与えられていないため、積分を用いては解くことができませんので、たわんだガラスAの形をカクカクに近似するという考え方をご紹介しました。

また、積分∫(tanθ)dxは、ある明線位置から次の明線位置までの間の、ガラスAの上昇距離を表す積分です。図でいうと、d'-dに相当します。これが、半波長分λ/2と等しいので右辺をλ/2としています。もしθをxで表すことができれば、この積分を解けば明線間隔が(xの関数で)求まります。

お礼

御返答有難うございます

補足

>積分∫(tanθ)dxは、ある明線位置から次の明線位置までの間の、ガラスAの上昇距離を表す積>分です
ですが、tanθというのはθの時の傾きですよね、これを何でxで積分するんですか？