高校物理 重心

質問

下図のように傾いた閲覧台に、3冊の等しい本が2[cm],2[cm],a[cm]ずつずらして載せてある。台の傾きは、tanθ=3/4で、各本の長さは20[cm],厚さは4[cm],重さは0.5[kg重]である。本が転倒するaの値の範囲を示せ。

(解答)
図のように座標軸Ox,Oyをとると、3冊の本の重心は、xG=(20-a)/3,yG=6となる。「本が転倒するためには、共通の重心が、O点を通る鉛直線より左側にあればよい。よって、xG/yG=(20-a)/18<tanθ=3/4」

「～」の説明が分かりません。 「共通の重心」が何を示すのか、なぜ上記のような計算式になるのか、教えてください。

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回答No.1

yokkun831 · ベストアンサー

１番上の本は２番目の本が転倒しない限り転倒しません。１番目の本の重心位置が２番目の本の上にあるからです（静止摩擦係数は十分に大きいというのはこの問題の前提）。

１番目と２番目の本の全体は，３番目の本が転倒しない限り転倒しません。２冊全体の重心が３番目の本の上にあるからですね？

同様に３冊の本の全体は，その重心がO点を通る鉛直線の右にあるときには転倒しません。重力のモーメントが右回りだからです。３冊が転倒するということは，重力のモーメントが左回りになり，斜面のささえが効かなくなるということです。

>なぜ上記のような計算式になるのか、

１番上の本の重心
x1 = -4-a+10 = 6-a
２番目の本の重心
x2 = -4+10 = 6
３番目の本の重心
x3 = -2+10 = 8
全体の重心は１冊の質量をmとして
xG = (mx1 + mx2 + mx3)/(m + m + m)
= (x1 + x2 + x3)/3
= (20 - a)/3

yG = 6 は自明でしょう。

>xG/yG=(20-a)/18<tanθ=3/4」

全体の重心がO点を通る鉛直線上にあるときを考えて下さい。そのとき，
xG/yG = tanθ
となることが読み取れれば，
xG/yG < tanθ
が
「重心が、O点を通る鉛直線より左側」
にある場合を式で表現したものであることがおわかりでしょう。

お礼

ありがとうございます。