微分方程式の問題がわかりません

質問

課題の一部なんですが、よくわからないので教えていただきたいです。

1.y''-2y'+10y=2cos2x-4sin2x

2.y''-2y'+y=xe^x

3.y''-y'+3y=e^x・sin3x

よろしくお願いします。

回答No.2

yyssaa · ベストアンサー

http://www.geocities.jp/tc205ki/dfdata/dfeq.html#tr02
の記号法で同じ記号を使って解いてみると、
1.y''-2y'+10y=2cos2x-4sin2x
＞基本解(D^2-2D+10)yf=0
補助方程式h^2-2h+10=0の解はh=1±3iだから
yf=e^x(C1cos3x+C2sin3x)
特解(D^2-2D+10)yp=2cos2x-4sin2x
yp=R{2/(D^2-2D+10)}e^(2ix)-I{4/(D^2-2D+10)}e^(2ix)
=R{2/(-4-4i+10)}e^(2ix)-I{4/(-4-4i+10)}e^(2ix)
=R[1/{2(3/2-i)}]e^(2ix)-I{1/(3/2-i)}e^(2ix)
=R[(3/2+i)/{2(3/os2-i)(3/2+i)}]e^(2ix)-I[(3/2+i)/{(3/2-i)(3/2+i)]e^(2ix)
=R{(3+2i)/13)}e^(2ix)-I{(6+4i)/13{e^(2ix)
=R{(3+2i)/13)}(cos2x+isin2x)-I{(6+4i)/13}(cos2x+isin2x)
=(3/13)cos2x-(2/13)sin2x-(4/13)cos2x-(6/13)sin2x
=(3/13)cos2x-(4/13)cos2x-(2/13)sin2x-(6/13)sin2x
=-(1/13)cos2x-(8/13)sin2x
C1、C2を任意定数(複素数可)として
一般解y=e^x(C1cos3x+C2sin3x)-(1/13)cos2x-(8/13)sin2x・・・答
2.y''-2y'+y=xe^x
＞基本解(D^2-2D+1)yf=0
補助方程式h^2-2h+1=0の解はh=1(重根)だから
yf=e^x(C1+C2x)
特解(D^2-2D+1)yp=xe^x
yp=(e^x)[1/{(D+1)^2-2(D+1)+1}]x=(e^x){1/D^2}x
=(e^x)(1/D)(1/D)x=(e^x)(1/D)(1/2)x^2=(e^x)(1/6)x^3
C1、C2を任意定数として
一般解y=e^x(C1+C2x)+(e^x)(1/6)x^3=e^x(C1+C2x+x^3/6)・・・答
3.y''-y'+3y=e^x・sin3x
＞基本解(D^2-D+3)yf=0
補助方程式h^2-h+3=0の解はh=(1±i√11)/2だから
yf=e^(x/2){C1cos(√11x/2)+C2sin(√11x/2)}
特解(D^2-D+3)yp=e^x*sin3x
yp={1/(D^2-D+3)}e^x*sin3x
=e^x[1/{(D+1)^2-(D+1)+3}]sin3x
=Ie^x[1/{D^2+D+3}]e^(3xi)
=Ie^x[1/{(3i)^2+(3i)+3}]e^(3xi)
=Ie^x[1/{-6+(3i)}]e^(3xi)
=-(1/15)Ie^x(2+i)(cos3x+isin3x)
=-(1/15)e^x(cos3x+2sin3x)
C1、C2を任意定数(複素数可)として
一般解y=e^(x/2){C1cos(√11x/2)+C2sin(√11x/2)}-(1/15)e^x(cos3x+2sin3x)・・・答

回答No.1

akinomyoga

どの問題も
　(d/dx - α)(d/dx - β)y = f(x)　…(1)
の形に変形できますので (1) を解く事にします。
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(解法)
(d/dx-α)(d/dx-β)z = 0 の解は z = A exp(αx) + B exp(αx) となる。ここで、定数変化法を用いる:
　y = A(x) exp(αx) + B(x) exp(βx),　…(2)
　但し C = A(x)' exp(αx) + B(x)' exp(βx) = 0　…(3)
と置いて方程式を整理すると、
　C' - βA'exp(αx) - αB'exp(βx) = f(x).　…(4)
(3), (4) を連立させると
　A' = exp(-αx)f(x)/(α-β),
　B' = exp(-βx)f(x)/(β-α).
A(x), B(x) を解いて (2) に代入すると、
　y = ∫exp(α(x-x'))f(x')dx'/(α-β) + ∫exp(β(x-x'))f(x')dx'/(β-α)
　　= (1/(α-β)) ∫[exp(α(x-x'))-exp(β(x-x'))]f(x')dx'　…(5).
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後は、(5) に各問題のα, β, f(x) を代入して積分するだけです。