微分についての質問です。

質問

u=y^(1-n)を微分すると
u'=(1-n)y^(-n)•y'になるそうです。
私が計算すると
u'=(1-n)y^(-n)になります。
なぜ、u'=(1-n)y^(-n)•y'になるのか教えてください。
よろしくお願いします。

回答No.5

Knotopolog

＞私が計算すると
＞u'=(1-n)y^(-n)になります。

質問者さんは，u=y^(1-n)の両辺を y で微分して，u'=(1-n)y^(-n) となったわけですから，u' は u'=du/dy と言うことになります．
微分した結果そのものは，正しいです．

＞なぜ、u'=(1-n)y^(-n)・y'になるのか教えてください。

u'=(1-n)y^(-n)・y'になるのは，u=y^(1-n)の両辺を y で微分するのではなく，y 以外の何かで微分している結果です．
たとえば，x で，u=y^(1-n)の両辺を微分すると，(du/dx)=(1-n)y^(-n)・(dy/dx)になります．したがって，u'=(du/dx) および y'=(dy/dx) という事になります．
微分が，
(du/dx)=(1-n)y^(-n)・(dy/dx)
となる理由は，
u=y^(1-n) を x で，微分すると，合成関数の微分法により，
(du/dx)=(d[y^(1-n)]/dy)・(dy/dx) となるからです．

説明が下手で，すいません．
疑問な点があれば，補足で再質問して下さい．

回答No.4

中村 拓男（@tknakamuri）

n=0 としましょう。

u = y の微分は　y' が正しいですか　1 が正しいですか？
どちらでしょう？

y が、例えば 独立変数 x の関数で、xで微分するなら

y' = dy/dx が正しいです。

y が、y の関数で y で微分するなら 1 が正しいです。

この違いが分かりますか？　

まあ、ｙ’が出てくるなら、おそらく y は何かの独立変数の
関数なので、前者なのでしょう。

回答No.3

hashioogi

log u = log y^(1-n)
=(1-n) log y

yで微分すると、
(1/u) u'=(1-n) (1/y) y'
u' = u (1-n) (1-n) (1/y) y'
=y^(1-n) (1-n) (y^(-1)) y'
=(1-n) y^(-n) y'

回答No.2

info222_

u=u(y)でyが独立変数の場合
du/dy=u'=(1-n)y^(-n)
となります。
質問者さんの考え方の場合でu'=du/dyです、
下のu'=du/dxの場合とは微分の意味が違います。

u=u(y(x))=f(x) (yがxの関数）の場合は
du/dx=u'=(du/dy)(dy/dx)=(du/dy)y'=(1-n){y^(-n)}y'
となります。

回答No.1

noname#212313

>u=y^(1-n)を微分するとu'=(1-n)y^(-n)•y'になるそうです。
>私が計算するとu'=(1-n)y^(-n)になります。

　質問者様はyで微分されたのですね。yで微分するなら、仰る通りになります。すると、なぜ「y'」がくっついているのか、ということになります。

　y'と書いてあるからには、yを何かで微分したものだということになります。仮にy=f(x)という関数であるとして、xで微分したと考えてみます。

　u=y^(1-n)の両辺をxで微分すると、

　u'={y^(1-n)}'　←右辺も全体が微分されると考える
∴du/dx=d{y^(1-n)}/dx　←微分が何で微分するかを明示する記法
∴du/dx=[{d(y^(1-n)}/dy]{dy/dx}　←dy/dy=1を使い、分数と同じようなやり方ができる
∴du/dx=(1-n)y^(-n)・dy/dx　←お考えのd(y^(1-n))/dy=(1-n)y^(-n)が使える
∴u'=(1-n)y^(-n)・y'　←ダッシュを使った記法に戻すと、お示しの式

　要は何で微分するかで変わってくるということです。