全微分(１次微分の相加性)

質問

現在偏微分のあたりを勉強中なのですが、
もうすぐ全微分が出てくる！というところで
以下のような記述がありました。

『関数u=u(x,y)の値が(x,y)から(x+Δx,y+Δy)に変わったらどれだけ変わるかを考える。
ここで、Δx,Δｙは小さいとし、これらについて1次までu(x+Δx,y+Δy)-u(x,y)を求めることを考える。差を2段に分けて

u(x+Δx,y+Δy) - u(x,y+Δy) = ∂u(x,y+Δy)/∂x × Δx
u(x,y+Δy) - u(x,y) = ∂u(x,y)/∂y × Δy

であるから、辺々足して

u(x+Δx,y+Δy) - u(x,y) = ∂u(x,y+Δy)/∂x × Δx + ∂u(x,y)/∂y × Δy
・・・(1)

つまり、(x,y)が(x+Δx,y+Δy)に変わるとき、関数u=u(x,y)の増分は、x,yの変化分に関して1次までなら

u(x+Δx,y+Δy) - u(x,y) = ∂u(x,y)/∂x × Δx + ∂u(x,y)/∂y × Δy
・・・(2)

となる。』

ここで、僕が質問したいのは
(1)ここで言う「１次」の意味を教えてください。
　「１回微分の話をしている」という意味でしょうか・・・？
(2)(1)式から(2)式になる際、
　∂u(x,y+Δy)/∂x = ∂u(x,y)/∂x
としているのですが、これはなぜ成り立つのですか？
　(以下、自分の考えです)

　∂u(x,y+Δy)/∂x = ∂u(x,y)/∂x
　単体でしたらこの等号は納得できるのですが、今は
　∂u(x,y+Δy)/∂x × Δx + ∂u(x,y)/∂y × Δy
　というような和を考えていて、
　「第二項はあるyについてyで編微分、
　第一項はそのyからΔyずれた位置にyを固定してxで編微分」
　しているのに、
　∂u(x,y)/∂x × Δx + ∂u(x,y)/∂y × Δy
　だと第一項と第二項で、
　同じy近傍を考えてしまっているように思います。

どなたかご返答の方よろしくおねがいします。

回答No.2

hugen · ベストアンサー

＞(1)ここで言う「１次」の意味を教えてください。

Δx, Δy について一次式ということ。

＞∂u(x,y)/∂x × Δx + ∂u(x,y)/∂y × Δy
　だと第一項と第二項で、同じy近傍を考えてしまっているように思います。

そうしないと、Δx, Δy について一次式にならない。
（ ∂u(x,y+Δy)/∂x≠定数　　だから )
近似式を求めているから、
∂u(x,y+Δy)/∂x = ∂u(x,y)/∂x　　としても良い。

回答No.5

kabaokaba

>一次近似なのでΔxは無視できず、やはり
>∂u(x,y)/∂x = ∂u(x,y+Δy)/∂x・・・(3)
>としてはいけない気がします。

これも確かに「厳密にはその通り」です．
けど，今考えているのは「結果」であり「近似」なんですよ
今わかってるのは(x,y)での関数の値と
そのときの微分係数だけという状況です．
この状況下で，「点が少しずれたとき」の関数の値を知りたい
ということです．
だから「ずれた点の値は一切わからない」のです．
そして，微分可能ということは連続，すなわち
「ちょっとずれたくらいでは値は極端には変わらない」
ということが期待できるのです．
だから，
>∂u(x,y)/∂x = ∂u(x,y+Δy)/∂x・・・(3)
としてしまいます．

繰り返しますが，数学的には「厳密」ではありませんし
「ちょっとくらい」とか「極端に変わらない」「期待できる」
なんてのは「数学らしい厳密さ」とは縁遠いです．
実際「病的な例外」はあります．
しかし，実際の「数値計算」とか
関数の形が不明で値は分からないけども
ある程度の性質が分かってて，何かの手段で特別な点の値が
分かってるみたいなときには有効な手段なんですよ，これ．

そして繰り返しになりますが，このある意味いい加減な
「ちょっとくらいちがってもいいや，そんなん違い大差ないでしょ」
が数学的に厳密な理論で，そこそこ正当化されてしまうのです．

>微少量について、無視してよいものと
>よくないものの見分けがつかなくなるのですが・・・。
これは「何が分かっていて」「何を求めて」
「どういうものを無視するのか」ということが
明確になればおのずと明らかになります．

研究レベルになるとですね・・・・
理論を構築するには「＊＊＊」があると大変だし
「＋＋＋」の条件では「＊＊＊」はそんなに大きくなさそうだから，
とりあえず「＊＊＊」は無視しておこう．
で，理論が出来たら実験結果とつき合わせて
「無視した＊＊＊の影響量」を考えてみよう．
それがわかれば「＊＊＊」を考えた理論もできるかもしれない
みたいなことは結構よくあります
ある意味「スルーする力」が重要です

閑話休題．
納得できなかったら，例えば，
f(x,y)=x^2y^2としてみましょう
f_x(x,y)=2y^2x
f_y(x,y)=2x^2y
です．
(x,y)からほんの少し(h,k)だけ動いた
点(x+h,y+k)での値f(x+h,y+k)が知りたいのです．
そこで
実際にf(x+h,y+k)を
(1)本当の値
(2) f_x(x,y)h+f_y(x,y)k （一次近似）
で計算してみてください．
x=y=0, h=k=0.001とか適当な値を設定すれば
簡単にできるでしょう？
プログラムが組めるなら「桁落ち」とか「丸め誤差」に注意すれば
かなりのパターンを計算可能です．
関数の形もいろいろ変えてみてください．
いろいろ計算すると
かなり「妥当な近似」ができることが納得できますよ
（正確には「「許容できる誤差」がどういう条件ででてくるか
なんとなく体感できる」というような表現の方がいいかな）．

回答No.4

hugen

No3には、推論上誤りがある。

f(x+h,y+k)-f(x,y+k)=fx(x,y+k)h
[ u(x+Δx,y+Δy) - u(x,y+Δy) = ∂u(x,y+Δy)/∂x × Δx ]
これは、近似式として　　h → 0 のときは成り立つが
h,k → 0 のときは,一般には成り立たない。
例えば
f(x+h,y+k)=0 ( h≠k ) , h (h=k )

回答No.3

hugen

f(x+h,y+k)-f(x,y+k)
=fx(x,y+k)h
={fx(x,y)+fxy(x,y)k}h
=fx(x,y)h+fxy(x,y)kh (二次式)
=fx(x,y)h

回答No.1

kabaokaba

＞ここで、Δx,Δｙは小さいとし、

この条件を忘れてます．
この手の計算は「近似」であって，本当に等しいわけではありません．
厳密に考えれば，質問者のいうとおりですが，
今は
「考える範囲が小さいから細かいことはぐだぐだいうんでねー．
あとできっちり正当化しちゃるから，まってろ，おらっ！」
みたいなのが根底にあります．
その現われが「x,yの変化分に関して1次までなら」という言明です．
これは多変数のテイラー展開で正当化されるのです．

そもそも，点(x,y)から(x+Δx,y)までの変化分が
u_{x}(x,y) Δx
としている段階で厳密ではなく「一次近似」になってることを
理解できてますか？　

話を簡単にするなら，まずは
(1+x+d)^2 - (1+x)^2
とかで考えれば十分でしょう．
f(x)=(1+x)^2 として
f(1+x)-f(x)
= (1+x+d)^2 - (1+x)^2
= 1+x^2+d^2+2x+2xd+2d - (1+2x+x^2)
= d^2+2xd+2d
= 2(1+x)d + d^2
= f'(x)d +d^2
ここで「dについて一次の部分」だけをとれば
f(x+d)-f(x) = f'(x)d
記号をd=Δxとすれば
f(x+Δx)-f(x) = f'(x)Δx
これが上であげた

点(x,y)から(x+Δx,y)までの変化分が
u_{x}(x,y) Δx
としている段階で厳密ではなく「一次近似」になってること

の正体です．これは一変数のテイラー展開で一般に正当化されます．
多変数の場合は教科書を見てください．
本質的に大差ありません．

関数f(x,y)に対して
全微分 df = f_x dx + f_y dy
ってのを考えると，いろいろ都合のよいことがあるのですが，
これの導入の一つとして上記のような一次近似が
使われることは多いようです．

お礼

返答ありがとうございます！

一次近似の話、とても納得できました！！
分かりやすく説明してくださってありがとうございました！
しかし、まだ腑に落ちない部分があったので質問させてください！

一次近似ということなので|Δx|<<1のとき
Δx^2 = 0
とみなすのはわかったのですが、
一次近似なのでΔxは無視できず、やはり
∂u(x,y)/∂x = ∂u(x,y+Δy)/∂x・・・(3)
としてはいけない気がします。
∂u(x,y)/∂x = ∂u(x,y+Δy^2)/∂x
なら分かるのですが・・・。

(3)式が成り立つとみなしてしまうと、
微少量について、無視してよいものと
よくないものの見分けがつかなくなるのですが・・・。

それとも、
「df = f_x dx + f_y dy
という式は本当はこのような計算から得られるわけではなく、
式計算から求めるとすると、特別にこういう近似をして
求めることになる。ちなみにこの近似自体は回答者様の言うとおり
『考える範囲が小さいから細かいことはぐだぐだいうんでねー．
あとできっちり正当化しちゃるから，まってろ，おらっ！』
ってことで気にすんなよっっ！！」
と解釈すべきなのでしょうか？