微分の仕方がわかりません。。

質問

微分の解き方を調べてみても、次の式の微分の仕方が全くわかりません。。
r(x,y)=√(x-u)^2 (y-v)^2 ※ルートは右辺全体にかかってます。

計算ソフトのwolfram mathematica 6.0を持ってはいるのですが、入力の仕方が悪

いのか何なのか計算ができません。
どなたか解き方を教えていただけないでしょうか？お願いします。

回答No.4

yyssaa · ベストアンサー

r(x,y)=√(x-u)^2+(y-v)^2　で再回答します。

xで微分する(偏微分する)場合はyを定数として扱い、
まずr(x,y)=√((x-u)^2+(y-v)^2)=((x-u)^2+(y-v)^2)^1/2を
（(x-u)^2+(y-v)^2）で微分して((x-u)^2+(y-v)^2)^-1/2・・・(ア)
次に（(x-u)^2+(y-v)^2）をxで微分して2(x-u)・・・(イ)
(ア)×(イ)で
δr(x,y)/δx=2(x-u)((x-u)^2+(y-v)^2)^-1/2
=2(x-u)/√((x-u)^2+(y-v)^2)
となります。
　なお、前の回答ではxで微分する前に(x-u)^2で微分しましたが、
この問題では（(x-u)^2+(y-v)^2）を(x-u)^2で微分すると結果は
１となるので、上の(ア)×(イ)が(ア)×１×(イ)になるだけなので、
(x-u)^2での微分は不要ということです。
　yで偏微分する場合は、xを定数とみてやってみて下さい。
答えは
δr(x,y)/δy=2(y-v)/√((x-u)^2+(y-v)^2)
になると思います。

お礼

何度も詳しく解説していただきましてありがとうございました。
本当に助かりました！

回答No.3

info22_

#2です。

>r(x,y)=√{(x-u)^2+(y-v)^2}　です。

であるなら

偏微分は
∂r/∂x=(x-u)/√{(x-u)^2+(y-v)^2}
∂r/∂y=(y-v)/√{(x-u)^2+(y-v)^2}

全微分は
dr=(∂r/∂x)dx+(∂r/∂y)dy=(x-u)dx+(y-v)dy}/√{(x-u)^2+(y-v)^2}

回答No.2

info22_

r(x,y)=√{(x-u)^2 (y-v)^2}=|(x-u)(y-v)|
なので
x=uおよびy=vでは微分不可。
x≠u,y≠vではでは
(1)x＞u,y＞vの場合 r(x,y)=(x-u)(y-v)
(2)x＞u,y＜vの場合 r(x,y)=-(x-u)(y-v)
(3)x＜u,y＞vの場合 r(x,y)=-(x-u)(y-v)
(4)x＜u,y＜vの場合 r(x,y)=(x-u)(y-v)
の４つに場合分けして微分をすればいいかと思います。

微分って、偏微分ですか？全微分ですか？
例えば(1)の場合
　∂r/∂x=y-v
　∂r/∂y=x-u
　dr=(∂r/∂x)dx+(∂r/∂y)dy=(y-v)dx+(x-u)dy
同様に他の(2),(3),(4)の場合も微分すれば良いでしょう。

以上を「wolfram mathematica 6.0」
で表せば良いでしょう。

当方は「wolfram mathematica 6.0」をもっていませんが、
フリーソフトのwxMaximaでなら
　r:abs((x-u)*(y-v));
　rx:diff(r,x);
　ry:diff(r,y);
　dr:diff(r);
と入力します。

回答No.1

yyssaa

xとyが変数でuとvは定数ですね？
rをxで微分する(偏微分する)ときは、yも定数として扱います。
右辺＝｛(x-u)^2 (y-v)^2｝^1/2を、まず｛(x-u)^2 (y-v)^2｝
で微分して｛(x-u)^2 (y-v)^2｝^-1/2・・・(ア)
次に(x-u)^2 (y-v)^2を(x-u)^2で微分して(y-v)^2・・・(イ)
さらに(x-u)^2をxで微分して2(x-u)・・・(ウ)
以上の(ア)×(イ)×(ウ)がxで偏微分した結果になります。
つまり、
δr(x,y)/δx=2(x-u)(y-v)^2/√｛(x-u)^2 (y-v)^2になります。
yで偏微分する場合はxを定数として扱い、同じような手順で
答えが得られます。

補足

詳しい回答本当にありがとうございました！
ですが・・・申し訳ありません！式が少し間違っていました。
r(x,y)=√(x-u)^2 (y-v)^2　と入力していましたが、正しくは
r(x,y)=√(x-u)^2+(y-v)^2　です。。

これによって解が変わるようならばもう一度教えていただきたいです。お願いします。