線形微分方程式について

質問

問題集に
y'-ytan(x)=x^4sec(x)
という問題があるのですが解き方がわかりません．
リッカチの微分方程式で
u=y^(-3)とおいて
-3u'-utan(x)=1/cos(x)
までいったんですがそこからできなくなってしまいました．
答えはy^3=1/(Ccos^(3)x)-2sinxcos^(2)x-sinx)なんですが・・・

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

質問の方程式は一階線型微分方程式ですから、公式どおり、
y = (1/z) ∫{(x^4sec(x)) z}dx ただし z = exp(∫(-tan x)dx)
とするだけです。計算すると、A No.1 と同じ答えになります。

リッカチの方程式だというのなら、恐らく、
y'-ytan(x)=(y^4)sec(x) の書き間違いなのでしょう。
これなら、型の如く u=y^(-3) と置けば、
(-1/3)u'-utan(x)=sec(x) と変形できます。
-3u'-utan(x)=sec(x) ではありません。

u'+3utan(x)=-3sec(x) に頭記公式を適用して、
u = (1/w) ∫{(-3sec(x)) w}dx ただし w = exp(∫(3tan x)dx)
となります。

回答No.1

spring135

y'-ytan(x)=x^4sec(x)

右辺はx^4・sec(x)=x^4/cos(x)

ですか。もしそうなら両辺にcosxをかけて

y'cosx-ysinx=x^4

z=ycosx

とおくと

z'=dz/dx=y'cosx-ysinx=x^4

z=x^5/5+c=ycosx

y=x^5/5/cosx+c/cosx

これは正解ではないようです。

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