数I図形と計量の問題。私のどこが間違っていますか？

質問

１辺の長さが√3の正四面体ABCDの頂点Aから△BCDに下ろした垂線をAHとし、AP=BPであるように点Pを線分AH上にとる。
(1)線分PHの長さを求めよ

簡単に書きますが、
私は、BHを延長してCDとの交点をEととり、BE(=3/2)を求めました。
さらにBEを2：1に分けて、BH=1となりました。
△ABHより、AH=√2
PH=xとすると、
ＡＰ^2＝ＢＰ^2より、
(√2-x)^2=1^2+x^2
x=√2/4
PH=√2/4

と求めました。
しかし、先生から×をもらいました。
先生の答えはPH=1/2らしいのです。
先生の求め方は、
△ABHより、∠ABH=60°
1:2:√3(30°、60°、90°)の三角形に合わせて
ＡＢ＝√3、BH=√3/2、AH=3/2より
AP=3/2-x、PH=x
三平方の定理より
(3/2-x)^2-x^2=3/4
x=1/2
PH=1/2

自分の答えに自信があったのですが、結果×で点をとることが出来ませんでした。
でも…PH=1/2？？
何度解いても納得いきませんし、混乱してきてどこがどう間違っているのかわからなくなりました。
先生曰く、根本的に私の考え方が間違っているようなのですが、それがわかりません。
どうかわかりやすく解説して頂けましたら幸いです。
本当に困っているので、どうぞよろしくお願いいたします。

回答No.3

info222_ · ベストアンサー

>私は、BHを延長してCDとの交点をEととり、
>BE(=3/2)を求めました。
BE=3/2は正しい。

>さらにBEを2：1に分けて、BH=1となりました。
ここまで合っている。

>△ABHより、AH=√2
ここまで合っている。

>PH=xとすると、
>ＡＰ^2＝ＢＰ^2より、
>(√2-x)^2=1^2+x^2
>x=√2/4
>PH=(√2)/4
PHは正しい。

>と求めました。
以上、質問者さんの答えは正解です。自信を持って大丈夫ですよ。

>しかし、先生から×をもらいました。
先生の解答に×をあげます。
質問者さんの答えに○をあげます。

>先生の答えはPH=1/2らしいのです。
先生の答えのPH=1/2は、間違っています。

>先生の求め方は、
>△ABHより、∠ABH=60°
∠ABH=60°は間違いです。
正確には
∠ABH=tan^-1(√2)≒54.7356° (<60°)
です。

>1:2:√3(30°、60°、90°)の三角形に合わせて
これは間違いです。
正しくは
⊿ABHは辺の比が
BH:AB:AH=1:(√3):(√2)
です。また
∠BAH≒35.2644°,∠ABH≒54.7356°,∠AHB=90°
です。

>ＡＢ＝√3、BH=√3/2、AH=3/2より
間違いです。
正しい値は
AB=√3, BH=1, AH=(3√2)/4
です。

>AP=3/2-x、PH=x
間違いです。
正しくは
PH=xとおくと AP=AH-PH=(√2) -x
です。

>三平方の定理より
>(3/2-x)^2-x^2=3/4
>x=1/2
>PH=1/2
以上３行は間違い。
正しくは
((√2) -x)^2-x^2=1^2
(2√2)x=(√2)^2-1=1
x=(√2)/4
です。

>自分の答えに自信があったのですが、
自信を持って良いですよ。

>結果×で点をとるこ€とが出来ませんでした。
先生に正解をつけて、先生の間違いを訂正した解答のレポートを
持参の上、説明し、貴君の成績の点を訂正してもらってください。

>でも…PH=1/2？？
これは不正解ですから自信を持ってください。

>何度解いても納得いきませんし、混乱してきてどこがどう間違っているのかわからなくなりました。
当然でしょう。合っているものを間違っているといわれたのだから。

>先生曰く、根本的に私の考え方が間違っているようなのですが、
>それがわかりません。
根本的に間違っているのは先生の解答の方です。

>どうかわかりやすく解説して頂けましたら幸いです。
上記の解説どおりです。

>本当に困っているので、どうぞよろしくお願いいたします。
困ったものですね。
正解と先生の解答の間違い箇所を指摘し訂正したレポートを作成、持参して
説明して、×点を訂正してもらいましょう。
先生にもプライドがあると思いますので、穏やかに説明の上、訂正して貰いましょう。
先生だって人間ですから間違いをたまにはするでしょう。それを正すと同時に、許容する配慮も必要でしょう。先生も頭を掻いて「うっかりして間違った」などと言わせてあげてください。

お礼

とてもわかりやすく解説して頂き、本当にありがとうございます！
納得できました。
正しくは…と解説して頂いて本当に助かりました。
ご指導いただいたようにレポートを作成して再度提出してみようと思います。
先生のうっかりミスかもしれませんし、穏やかに話します。
本当にありがとうございました。

回答No.2

Tacosan

はい, あなたのやり方で OK です.

もちろん他にもいろいろな考え方がある. P が四面体の重心 (= 外心 = 内心) であることに気付くと簡単かな.

お礼

再度ご回答頂きありがとうございます！
重心＝外心＝内心、頭に入れておきます。

回答No.1

Tacosan

その「先生の答え」は間違っています. 最初の「∠ABH=60°」から間違ってる. もしそうなら, 辺CD の中点を F とすると △ABF は正三角形になっちゃうけど, そんなことはありえない.

ちなみに正解は √2/4.

お礼

ご回答頂きありがとうございます！
やはり先生の答えが間違っていたのですね…！
なんで∠ABH=60°になるのかわからなかったんです。反論しても私が間違っているということを言われ…混乱してしまいました。
では私の答え(考え方)で合っているのでしょうか…？
怒られながら叩き込まれたので、先生の間違った方法を身につけてしまったような気がして不安です。。