中学3年生の図形の問題

質問

図のように平行四辺形ABCDがある。
点Eは、辺ADの中点であり、CF：FD＝１：２である。
また点Gは線分AFと線分BEの交点である。
△AEGの面積は、平行四辺形ABCDの面積の何倍になるか求めなさい。
答えは16分の１倍なのですが、解き方を教えていただけますでしょうか？

回答No.1

debut · ベストアンサー

ＢＥの延長とＣＤの延長の交点をＨとすると、
△ＡＢＧ∽△ＦＨＧ（２組の角）
また△ＡＢＥ≡△ＤＨＥなので、ＡＢ＝ＤＨ(=C D)
Ｃ Ｆを１とすればＦＤは２、ＤＨとＡＢは３となるから、
上の相似比はＡＢ：ＦＨ＝３：(２＋３)＝３：５
よって、ＡＧ：ＦＧ＝３：５

△ＡＥＧの面積を３とすれば、△ＥＦＧの面積は５
（底辺をそれぞれＡＧ，ＧＦとみれば、残りの頂点が同じ点にある
　から、その高さは等しい、つまり面積比はＡＧとＧＦの比と
　なるからです。・・以下、同じ考えなので、底辺だけ示します）
よって、△ＡＥＦの面積は３＋５＝８で、△ＤＥＦと等しいから
（底辺がそれぞれ、ＡＥとＥＤだから）
△ＡＤＦの面積は８＋８＝１６
△ＡＣＦの面積は△ＡＤＦの1/2なので（底辺がそれぞれ、ＤＦと
Ｃ Ｆだから）８。よって、△ＡＣ Ｄの面積は１６＋８＝２４
よって、平行四辺形ＡＢＣ Ｄの面積は２４×２＝４８

△ＡＥＧの面積３は、平行四辺形ＡＢＣ Ｄの面積４８の３/４８倍
約分して　１/１６　倍となります。

お礼

ありがとうございました。
やっと理解できました。