証明問題

質問

[問題]
鋭角三角形ABCに於いて、辺BCの中点をM、Aから辺BCに引いた垂線をAHとする。
点Pを線分MH上にとるとき、AB^2 + AC^2 ≧ 2PA^2 + BP^2 + CP^2となることを示せ。
----
[私の答え]
1. P=Mのとき===============================================
AB^2 + AC^2 = 2(AM^2+CM^2) = 2AM^2 + BM^2 + MC^2 ------(a)
2. P=Hのとき===============================================
△ABHに於いて
AB^2 = AH^2 + BH^2 ------(イ)
△ACHに於いて
AC^2 = AH^2 + HC^2 ------(ロ)
(イ)(ロ)の辺々を足すとAB^2 + AC^2 = 2AH^2 + BH^2 + HC^2 ------(b)
----
△AHMは直角三角形であるから
AM^2 = AH^2 + HP^2よりAM > AH ------(c)

(a)(b)より、PがMの時とHの時、AB^2 + AC^2と等しくなる。
そしてPがMとHの間に有るときは(c)よりAB^2 + AC^2より小さくなる。
よって
AB^2 + AC^2 ≧ 2PA^2 + BP^2 + CP^2 [終わり]
----
こんな答えでは駄目ですか？

宜敷御願いします。

回答No.1

pascal3141 · ベストアンサー

直接出した方がいいでしょう。
AB^2=BH^2+AH^2,AC^2=CH^2+AH^2
また、BH=BM+MH,CH=CM-MHより代入して
AB^2+AC^2=(BM+MH)^2+(CM-MH)^2+2AH^2=BM^2+CM^2+2MH^2+2AM^2
MH≧PHよりいえますね。

お礼

ありがとうございます。