内接球の計量

質問

1辺の長さが１の立方体ABCD-EFGHがある。
3点A,C,Fを含む平面と直線BHの交点をP、
Pから面におろした垂線の足をQとする。

（１）長方形DBFHをかき、三角形ACFとの交線と点Pを図示せよ。
さらに、線分BP、PQの長さは？

（２）四面体ABCFに内接する球の中心をOとする。
点Oは線分BP上にあることを示せ。

（３）四面体ABCFに内接する球の半径を求めよ。

解ける方いらっしゃいましたら
解説お願いしますm(_)m

回答No.2

yyssaa · ベストアンサー

＞Qは面EFGH上として回答します。
（１）長方形DBFHをかき、三角形ACFとの交線と点Pを図示せよ。
さらに、線分BP、PQの長さは？
＞立方体ABCD-EFGHの上面を反時計回りにABCD、下面を同じくEFGH
(Aに対応する点をE)とすると、長方形DBFHはDB=FH=√2、BF=DH=1
の長方形となり、線分ACがBDの中点(Rとする)を通るので、三角形
ACFとの交線は、RとFを結ぶ線分RFとなり、点Pは線分RFと線分BH
との交点となる。
△BPR∽△PFHからBR/FH=BP/PH、BH=√{1^2+(√2)^2}=√3から
PH=(√3)-BPなので、BR/FH=BP/{(√3)-BP}=1/2から
BP=(√3)/3・・・答え
△BFH∽△PQHからPQ/BF=PH/BH=[(√3)-{(√3)/3}]/√3=2/3
よってPQ=(2/3)BF=2/3・・・答え
（２）四面体ABCFに内接する球の中心をOとする。
点Oは線分BP上にあることを示せ。
＞Oから△ABFへ下ろした垂線の長さとOから△BCFへ下ろした垂線
の長さは等しい。ということはOは長方形DBFHの面上にある。
同じくOから△ABFへ下ろした垂線の長さとOから△ABCに下ろした
垂線の長さは等しい。ということはOは長方形ABGHの面上にある。
長方形DBFHと長方形ABGHの交線はBHであり、BHと△ACFとの交点が
Pであるから、Oは線分BP上にあることになる。
（３）四面体ABCFに内接する球の半径を求めよ
＞内接する球の半径をrとすると四面体ABCFの体積は、△ABC、
△ABF、△BCF、△ACFのそれぞれを底面とする高さrの4個の三角錐
の体積の合計になる。
△ABCの面積=△ABFの面積=△BCFの面積=1/2、△ACFは1辺の長さが
√2の正三角形なので、その面積=(√3)/2
よって、四面体ABCFの体積=(1/3)r{3*(1/2)+(√3)/2}={(3+√3)/6}r
一方、四面体ABCFを底面が△ABCで高さBFの三角錐として体積を計算
すると、四面体ABCFの体積=(1/3)*(1/2)*1=1/6。よって
{(3+√3)/6}r=1/6からr=1/(3+√3)=(3-√3)/6
以上から、四面体ABCFに内接する球の半径は(3-√3)/6・・・答え

お礼

詳しく書いてくださり、
ありがとうございました^^*

回答No.3

ferien

＞1辺の長さが１の立方体ABCD-EFGHがある。
＞ 3点A,C,Fを含む平面と直線BHの交点をP、
＞ Pから面におろした垂線の足をQとする。

＞（１）長方形DBFHをかき、三角形ACFとの交線と点Pを図示せよ。
＞ さらに、線分BP、PQの長さは？
ＡＣとＢＤの交点をＲとします。（対角線の交点）
△ＢＰＲ∽△ＨＰＦ（2つの角が等しい）だから、
ＢＰ：ＨＰ＝ＢＲ：ＨＦ＝√2/2：√2＝１：２　……(1)より、
ＢＰ＝(1/3)ＢＨ
△ＢＦＨは直角三角形だから、
ＢＨ^2＝ＢＦ^2＋ＦＨ^2＝１^2＋（√2）^2＝３より、ＢＨ＝√3
よって、ＢＰ＝1/3・√3＝√3/3
Pから面EFGHにおろした垂線の足をQとすると、
△ＨＰＱ∽△ＨＢＦ（２つの角が等しい）だから、(1)より、
ＰＱ：ＢＦ＝ＨＰ：ＨＢ＝２：３から、
ＰＱ：１＝２：３
よって、ＰＱ＝2/3

＞（２）四面体ABCFに内接する球の中心をOとする。
＞ 点Oは線分BP上にあることを示せ。
＞（３）四面体ABCFに内接する球の半径を求めよ。
（２）と（３）を混ぜたような感じで回答します。

点Oは線分BP上にあるとする。
△ＡＣＦは１辺が√2の正三角形だから、その高さＦＲは、√2×√3/2＝√6/2
△ＢＰＲ∽△ＨＰＦより、ＦＰ：ＰＲ＝ＨＰ：ＢＰ＝２：１だから、
ＰＲ＝(1/3)ＦＲ＝1/3・√6/2＝√6/6
△ＢＡＣで、ＢＲ^2＝ＢＡ^2ーＡＲ^2＝１^2－（√2/2）^2＝1/2より、ＢＲ＝√2/2

△ＢＲＰを考えると、ＢＲ^2＝（√2/2）^2＝1/2
ＢＰ^2＋ＰＲ^2＝（√3/3）^2＋（√6/6）^2＝（3/9）＋（6/36）＝1/2　だから、
ＢＲ^2＝ＢＰ^2＋ＰＲ^2より、△ＢＲＰは、∠ＢＰＲ＝９０°の直角三角形
ＢＰ上に点Oがあり、それが四面体ABCFに内接する球の中心であるとし、
点OからＢＲへ引いた垂線の足をＳとする。
内接する球の半径をｒとすると、ＯＳ＝ＯＰ＝ｒ
（ｒは、中心Oから面△ＡＣＦと△ＢＡＣまでの距離）とおける。
△ＢＯＳ∽△ＢＲＰ（２つの角が等しい）だから、
ＯＳ：ＲＰ＝ＢＯ：ＢＲより、（ＢＯ＝ＢＰ－ＯＰ）
ｒ：√6/6＝（√3/3ーｒ）：√2/2
(√2/2)・ｒ＝√6/6・（√3/3ーｒ）
(√2/6)・（３＋√3）・ｒ＝√2/6
よって、点Oが線分BP上にあるとき、内接する球の半径は、
ｒ＝1/（３＋√3）＝（３ー√3）/６　……(2)

四面体ABCFに内接する球の半径をＲとする。
四面体の体積は、
底面が△ＢＡＣのような等辺１である直角二等辺三角形で、高さがＲである四面体３個と、
底面が△ＡＣＦで、高さがＲである四面体１個を足し合わせたものだから、
(1/3)・(1/2)・１・１・Ｒ×３＋(1/3)・(1/2)・√2・(√6/2)・Ｒ＝(1/3)・(1/2)・１・１・１
とおける。
(1/2)Ｒ＋(√3/6)Ｒ＝1/6より、
(1/6)・（3＋√3）・Ｒ＝1/6
よって、Ｒ＝1/（３＋√3）＝（３ー√3）/６　……(3)

(2)(3)より、四面体ABCFに内接する球の中心Oは線分BP上にあり、
内接する球の半径は、（３ー√3）/６

図を描いて考えてみて下さい。

回答No.1

info22_

質問

>Pから面におろした垂線の足をQとする。
この面は何処の面か、明記してください。
Qの位置が分かりません。