二次関数の問題です！

質問

ＡＢ＝１０、ＢＣ＝８の長方形のＡＢＣＤの辺ＢＣ、ＣＤ上に、ＥＣ＝５、ＣＦ＝４となるようにそれぞれ点Ｅ、Ｆをとる。線分ＥＦの一点Ｑから辺ＡＢに下ろした垂線をＱＰ、また辺ＡＤに下ろした垂線をＱＲとする。点ＱがＥＦ上を動くとき、長方形ＡＰＱＲの面積Ｓは、ＡＰ＝？のとき最大となり、Ｓの最大値は？である。

ＡＰ＝？とＳの最大値？を求めよ。

答）ＡＰ＝５分の３１　Ｓの最大値２０分の９６１

解説をなくしてしまったので解き方を詳しく教えてください

よろしくお願いします。

回答No.4

okormazd · ベストアンサー

>>長方形ABCDのABがx軸、ADがy軸にするのは何故。
AP=xになるようにすれば、変形した式の中にそのまま答えが出で来るのでね。

回答No.3

kkkk2222

>>長方形ABCDのABがx軸、ADがy軸にするのは何故。
>>普通にABがy軸、ＢＣがx軸と考えた。

　座標は、自分の好みで設定すれば良いです。
どのように設定しても、
ＡＰの値と、最大値は不変です。

　線分ＥＦの式を容易に出したいときは、
ＣＤをx軸、ＣＢをy軸と設定します。

Ｂ(0,8)　　　　Ｐ(x,8)　　　　　　　　　　　　　Ａ(10,8)

Ｅ(0,5)

　　　　　　　　Ｑ(x,y)　　　　　　　　　　　　　　Ｒ(10,y)

Ｃ(0,0)　　　　　　　　　 Ｆ(4,0) 　 　　　　　　Ｄ(10,0)

　ＥＦの式は、
(x/4)+(y/5)=1
[ 0≦x≦4, 0≦y≦5]
此れは切片方程式と呼ばれます。

未習のときは普通に
y=(-5/4)x+5　とすれば良いです。

あとは、二次関数の平方完成が主たる計算となります。

Ｓ=(長方形ＡＰＱＲの面積)
　=ＡＰ*ＡＲ
　=(10-x)(8-y)
　=(x-10)(y-8)
　=(x-10)[(-5/4)x+5-8]
　=(x-10)[(-5/4)x-3]

4Ｓ=(x-10)(-5x-12)
　　=-(x-10)(5x+12)
　　=-[5x^2-38x-120]
　　=-5[x^2-(38/5)x]+120
　　=-5[x-(19/5)]^2+(361/5)+(600/5)
　　=-5[x-(19/5)]^2+(961/5)

y=(-5/4)(19/5)+5=(-19/4)+(20/4)=(1/4)

　此の設定では、Ｑ( (19/5), (1/4) )のとき、

　ＡＰ=10-(19/5)=(50/5)-(19/5)=(31/5)となって、
最大値、(961/20)となります。

回答No.2

okormazd

長方形ABCDのABがx軸、ADがy軸になるようにすると、
Eの座標は(10,3)、Fの座標は(6,8)だ。E(10,3)とF(6,8)を通る直線の式は、y=-5/4x+62/4 だ。
長方形APQRの面積は、xとyの積だから
xy=-5/4x^2+62/4x=-5/4(x^2-62/5x)=-5/4(x-31/5)^2+961/20
になるよ。
だから、長方形APQRの面積xyの最大値は、961/20　このときのAPすなわちxの値は31/5でxの範囲内。
なに、EFの直線の式がだせない？
xyの式の変形がむずかしい？
それは自分で考えるか、他に聞いて・・・。

お礼

回答ありがとうございます。

少し分からないのですが、
長方形ABCDのABがx軸、ADがy軸にするのはなんでなんですか？

普通にＡＢがＹ軸、ＢＣがＸ軸と考えてしまったので・・・

回答No.1

debut

置き方はいろいろあるけど、１例。
ＱからＢＣ に垂線ＱＨを引けば、相似からＥＨ：ＱＨ＝５：４
なので、ＥＨ＝５ｘとするとＱＨ＝４ｘで、ＲＱ＝ＡＰ＝10－４ｘ，
ＰＱ＝ＢＥ＋ＥＨ＝３＋５ｘです。
よって、長方形の面積はＳ＝(10－４ｘ)(３＋５ｘ)
Ｓ＝－20ｘ^2＋38ｘ＋30
　＝－20(ｘ^2－19/10ｘ)＋30
　＝－20(ｘ－19/20)^2＋961/20
グラフ、ｘの範囲など、あとは調べてください。