数学I 図形と計量

質問

わからない問題があるのでわかる方は教えてください!!

底面が一辺の長さ2の正方形で、OA=OB=OC=OD=3である四角錐OABCDを考える。
このとき cos∠AOB=7/9、cos∠AOC=5/9 である。
Oから平面ABCDに下ろした垂線と平面ABCDの交点をEとするとき、OE=√7である。
さらに、線分OB、ODを2:1に内分する点をそれぞれG、Hとし、平面AHGと線分OC、OEの交点を
それぞれI、JとするときAG=√33/3、AJ=ケ/コ である。
ここで、OI=a、JI=bとおくと、OJは∠AOIの二等分線だから、b=(サ/シ)aと表され、
OI=ス/セである。
さらに△IHGの面積をS1、△AHGの面積をS2とすると、S1/S2=ソ/タである。

途中までは解けたのですが…
というか図の書き方がわからない…!!
平面AHGと線分OCの交点ってどこだろう!?
多分私が変な勘違いをしてるだけだと思うんですが…

あっ。ちなみに答えは、
AJ=5/3、b=(5/9)a、OI=3/2、S1/S2=1/2となっています。
よろしくお願いしますっ!!

回答No.1

hatake333

途中まで解けたのは，すでに数値化されている箇所ですね．
図の描き方が分からないのは，ここではアドバイスが難しいかもしれませんが，以下の通り．
テストには活きませんが，自宅学習ならば，見える線は実線で太く，見えないけれど奥にある線は点線，新しく加えた点や線は色線で，やはり見える箇所と見えない箇所で実線，点線で分ける．
細かくてよく分からない場合は，ものすごく大きく描いてみる．
または，平面を真横から見てしまったかのように，広いはずなのに小さい場合は，図形の向きを変えて描いてみるのが良いでしょう．
それでも不満ならば，さまざまな角度から見直して，その度に平面で描いていくと分かりやすくなります．
△AGHなんかは，見取図ではつぶれるかもしれません．しかし，△AGHの面を取り出して，その部分だけ長さや角度の情報などを書き入れて，見取図と併せてみればいいでしょう．
質問にある
「平面AHGと線分OCの交点ってどこだろう!?」については，
問題の中で誘導的に算出するようになっています．
なので，AJを求める時点では「この辺だろう」という感じで良いです．

さて，AJですが，△AGHを書き出せば，すでにある情報から，
　AG = AH = √(33)/3
また，△OBD∽△OGH より，
　GH = 4√(2)/3
△AGHでAG=AHより，
　GH⊥AJ , JH = GH/2 = 2√(2)/3
よって，直角三角形AHJより，三平方で
　AJ = 5/3
サ／シ　は，△OAIでOJが∠Oの二等分線なので，
　OA : OI = AJ : JI
これより，b = (5/9)a
また，△OAIで∠Oについて余弦定理より得た式と，b = (5/9)aより
　a = 3/2 (a = 6 は不適)
これより，b = 5/6
四角形AGIHにおいて，AI⊥GH（説明済）より，
S1/S2 = JI / JA = 1/2

よろしいでしょうか？