物理化学の積分

質問

物理化学の反応速度論における積分の使用目的がわかりません。
積分型速度式というらしいのですが、一次反応において、その速さは
-d[A]/dt=k[A]
これを整理して
d[A]/[A]=-kdt
これを積分していくと速度式に変形されるのですが、この式を積分することにより何を求められるのでしょうか？

たとえば、次に示すのは私の理解している積分の概念と、具体的な使用の意味です。
ｆ（ｘ）をｘ１～ｘ２の範囲で積分すると、ｆ（ｘ）のグラフのｘ１～ｘ２の範囲におけるグラフとｘ軸間の面積が求められますよね？で、このｘ１～ｘ２の範囲がとっても微小な場合、ｆ（ｘ）のｘ１≒ｘ２におけるｘ軸からの長さが求められますよね。

ｘ１～ｘ２の範囲がとっても微小な場合、ｆ（ｘ）を積分して求められる値は、ｆ（ｘ１）≒ｆ（ｘ２）だと私は考えております。
で、その範囲がだんだん広がって、値をどんどん積んでいけば、総合的な値が求められます。

そして、ここからが具体的な使用目的なんですが、
たとえば、速さｖを、時間ｔで積分すると、その指定された範囲時間内の移動距離が求められます。
おなじく、基質の濃度の時間ごとの変化量を、時間ｔで積分すると、各瞬間の変化量がどんどん積み重なり、結果総合的な変化量が求められます。

私が知りたいのは後半のような具体的な意味です。
それとも、ここでの積分は変形して速度式を導くためのひとつの方法とでも考えたほうがよいのでしょうか？

回答No.1

noname#160321 · ベストアンサー

微分方程式で表される事象を、積分して解く場合、一々数学的に解釈しても始まりません。
微分方程式は裏返せば嫌でも積分が出て来ます。
さらに、あなたは数学ではf(x)をｘで定積分すれば「面積」が求められるとお考えのようですが、それも正しくはありません、単に我々が「面積」として理解し易いと言うだけの話しで、本来の純粋数学には面積と云う言葉は必要無いのです。

お礼

＞ 微分方程式は裏返せば嫌でも積分が出て来ます。

これを見てだいぶ納得できました。そうですね！積分のみにこだわらず微分あるところには積分ありという考え方をすればいいんですね！

ちなみに「面積」の話については、たしかに表現が間違っていますね。参考書などにかいてあるありきたりな表現を引用してしまいました。
一応概念についてはちゃんと理解しているつもりです(^_^)

ありがとうございました。

回答No.3

sanori

再びお邪魔します。
誤記を訂正します。

［Ａ］　≒　［Ａo］／２．７^(kt)　）

０秒後は、［Ａ］＝［Ａo］
１／ｋ秒後は、［Ａ］＝［Ａo］÷２．７
２／ｋ秒後は、［Ａ］＝［Ａo］÷２．７÷２．７
３／ｋ秒後は、［Ａ］＝［Ａo］÷２．７÷２．７÷２．７
４／ｋ秒後は、［Ａ］＝［Ａo］÷２．７÷２．７÷２．７÷２．７
５／ｋ秒後は、［Ａ］＝［Ａo］÷２．７÷２．７÷２．７÷２．７÷２．７
・・・・・
となります。

詰めが甘い私です。

回答No.2

sanori

こんばんは。

＞＞私が知りたいのは後半のような具体的な意味です。

では、具体的に解いてみましょう。
かっこを書くのがめんどくさいので、
勝手ながら、［Ａ］をＡと書きます。
ｄＡ／Ａ　＝　－ｋｄｔ
∫ｄＡ／Ａ　＝　∫－ｋｄｔ
∫ｄＡ／Ａ　＝　－ｋ∫ｄｔ
log｜Ａ｜　＝　－ｋｔ　＋　定数

Ａは正の数なので、｜Ａ｜＝Ａ　としてよい。
logＡ　＝　－ｋｔ　＋　定数

両辺の指数を取れば、
［Ａ］　＝　ｅ^(-kt+定数)　＝　ｅ^(-kt)　×　ｅ^定数
　＝　ｅ^(-kt)　×　定数その２
これで、積分の計算自体は終了です。
こんどは、初期条件です。

時刻ｔがゼロのときのＡの濃度［Ａ］が［Ａo］だったとしましょう。
すると、
［Ａo］　＝　ｅ^(-k・０)　×　定数その２　＝　１　×　定数その２
　＝　定数その２

よって、
［Ａ］　＝　ｅ^(-kt+定数)　＝　ｅ^(-kt)　×　ｅ^定数
　＝　ｅ^(-kt)　×　定数その２
　＝　ｅ^(-kt)　×　［Ａo］
　＝　［Ａo］・ｅ^(-kt)　
（　≒　［Ａo］・２．７^(-kt)　＝　［Ａo］／２．７^(kt)　）
これで完成です。

これは何を意味するかというと、
ｋｔ秒経つごとに、Ａの濃度［Ａ］が２．７分の１ずつになる、
つまり、
０秒後は、［Ａ］＝［Ａo］
ｋ秒後は、［Ａ］＝［Ａo］÷２．７
２ｋ秒後は、［Ａ］＝［Ａo］÷２．７÷２．７
３ｋ秒後は、［Ａ］＝［Ａo］÷２．７÷２．７÷２．７
４ｋ秒後は、［Ａ］＝［Ａo］÷２．７÷２．７÷２．７÷２．７
５ｋ秒後は、［Ａ］＝［Ａo］÷２．７÷２．７÷２．７÷２．７÷２．７
・・・・・
となります。

こんな感じで、Ａの濃度が小さくなっていくことが、まさに、
-d[A]/dt=k[A]
という情報から求まるのです。

この形の微分方程式は化学、物理で、よく登場します。
活性化エネルギー、放射性物質の半減期、電気電子回路におけるＲＣ直列回路の遅延時間、・・・なども、同じ考え方です。

ご参考になりましたら。

お礼

とっても細かい解答ありがとうございました。

実は求めていた答えとは少し違うのですが、具体的にAの変化量がわかり、ためになりました。