積分（高校）

質問

f(x)=∫(0≦t≦1)(t-1)e^|t-x|dt (x≧0) を求めよ。

という問題について質問です。
私が考えたのは、まず、|t-x|の中身の符号によって場合分けすることです。
すると、t-x≧0 のとき、x≦t , t-x＜0 のとき、t＜x　となります。そして…もうわかりません。

とにかく、自分としては t の積分なので、t で場合分けするのではないかと思いましたが、解答を少し見ると x の範囲によって答えを分けています。
なぜそうなるのかわからないので、解答を読んでも理解できません。

まずどうしてそうするのか、これがどういうものだと考えれば理解しやすくなるのか、教えていただきたいと思っています。お願いします。

回答No.2

kochory · ベストアンサー

＞|t-x|の中身の符号によって場合分けする
＞t の積分なので、t で場合分けする
という方針は正しいです。
が、問題は、質問者さんも悩んでいらっしゃるとおり、
その場合分けにxの値が絡んでくるというところですね。

根本に戻って、なぜ場合分けをしなければいけないのかを考えてみましょう。
今の場合は、被積分関数に絶対値記号が入っており、その中身が正か負かで
絶対値記号のはずし方が変わるから、ですね。

では、どのようなときに絶対値記号の中身の符号が変わるのか、よく考えてみてください。
いまxは0以上なので、t＜xなら中身は正で、t＞xなら中身は正になりますね？
（ここまではご自分でできてますね）

さて、ここで問題なのは、tは0と1の間の値しか取らないということです。
ですから、もしxの値がこの範囲になければ、絶対値記号の中身は符号を変えることがない
ということになりますね。
具体的に言えば、もしxの値が0.5だとしたら、積分を計算するには、
tが0.5より小さいときと、tが0.5より大きいときとで場合分けしなくてはいけませんね。
ですが、もしxが2だとしたら、tが（0と1の間の）どの値を取っても、
絶対値記号の中身は常に負になるので、積分の計算をするのに
場合分けをする必要が無いことになります。

このように、今の場合、xの値によって、絶対値記号を外すための
場合分けが必要か否かが変わってくるわけです。
これを考慮すると、この問題には、2段階の場合分けが必要だということになります。
すなわち、まずxの値によって「絶対値記号を外すための場合分け」が必要かどうかが
変わってくるので、これに関する場合分けをし、
その後、「絶対値記号を外すための場合分け」が必要に場合にのみ、
さらにt-xが正か負かで場合分けをし、積分を計算するわけです。

直接の答えはここには書きませんが、以上を踏まえて解答を読み直せば
今度は理解できると思います。

お礼

回答ありがとうございます。教えていただいたことを参考に何とかがんばってみましたら、だんだん見えてきました。「tは0と1の間の値しか取らない」というのが特にヒントになったと思います。わかっているつもりだったのですが…。もう少し自分で考えてみます。

補足

もう大丈夫そうなので締め切ります。もしまたわからないことがあればまた質問するつもりです。

回答No.1

tatsumi01

t は 0 から 1 までを走る変数なんです。
で、t が x を超える地点で |t-x| の符号が変化するのです。したがって、場合分けは x の値がどこにあるかで決ります。
もう少し詳しく書くと、x<0 でも x>1 でも、t が x を通りすぎることはないので |t-x| は正または負で決ります。
0≦t≦1 の場合、t が x を通りすぎます。したがって、x で |t-x| の符号を変えた二つの積分の和にする必要があります。

お礼

回答ありがとうございます。解決できそうになってきました。