いろいろな曲線
1.２定点（±c,0）からの距離の和が一定値2a(a>c)である点の軌跡が、円の標準形で表されることを確かめなさい。
sqrt((x-c)^2+y^2)+sqrt((x+c)^2+y^2)=2a
ここで(x-c)^2+y^2+(x+c)^2+y^2=2(x^2+y^2+c^2)を使い
(X+Y)^2+(X-Y)^2=2X^2+2Y^2により
|sqrt((x-c)^2+y^2)-sqrt((x+c)^2+y^2)|=sqrt(4(x^2+y^2+c^2-a^2) ←この変形が理解できません。
2.楕円x^2/a^2+y^2/b^2=1の周上Pでの接線は、焦点F、F'と結ぶ角FPF'の外角をニ等分することを証明しなさい。
楕円x^2/a^2+y^2/b^2=1楕円の周上の点を媒介変数表示x=acosθ,y=bsinθで表すと、接線の傾きは-bcosθ/acosθ
焦点を結ぶ直線の傾きはそれぞれbsinθ/(acosθ-c),bsinθ/(acosθ+c)(c=sqrt(a^2-b^2))これと接線とのなす角の正接は、前者が(absin^2θ+bcosθ(acosθ-c))/(asinθ(acosθ-c)-b^2sinθcosθ) ←この式が導出できません。
3.楕円x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)の外部の一点Pから楕円に引いた2本の接線が直交するような性質をもつ点Pの軌跡を求めなさい。
楕円上の2点s(acosθ,bsinθ),(acosφ,bsinφ)での接線が直交するとすると
a^2sinθsinφ+b^2cosθcosφ=0
両接点の交点の座標は
x=a(sinφ-sinθ)/(cosθsinφ-sinθcosφ)
y=b(cosθ-cosφ)/(cosθsinφ-sinθcosφ)
x^2+y^2=[a^2(sin^2θ+sin^2φ)+b^2(cos^2θ+cos^2φ)]÷(cos^2θsin^2φ+sin^2θcos^2φ-2sinθcosθsinφcosφ)
分子の-2a^2sinθsinφ-2b^2cosθcosφは直交条件によって0になる。
分母の(a^2+b^2)倍を分子から引くと ←どうしてそうするのかわかりません。
2a^2sin^2θsin^2φ+2b^2cos^2θcos^2φ+2(a^2+b^2)(sinθcosθsinφcosφ) ←導出できず。
=2(sinθsinφ+cosθcosφ)(a^2sinθsinφ+b^2cosθcosφ)=0であり、
x^2+y^2=a^2+b^2 ←導出できず。
となる。
多くて恐縮ですがご教示いただければと思います。
お礼
はい！ そうでした！！！ ありがとうございました。