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質問

実数x、yが、tanx+tany=1 tan(x+y)=1/2 -π/2<x<y<π/2 を満たすとき、

　tanxtany= (　ア　)　　tanx= (　イ　)　　tany= (　ウ　)　　cos(x-y)= (　エ　)

　cos2(x+y)= (　オ　)　　cos＾2x+cos＾2y= (　カ　)　　　　　　　　　　　　　　である。

この問題の解答をお願いします。

回答No.1

gomagoma427 · ベストアンサー

（ア）tanの加法定理で解きます。

tan(x+y) = {tan(x)+tan(y)}/{1-tan(x)tan(y)}

にtan（x）+tan（y）=1、 tan(x+y)=1/2を代入して

tan(x)tan(y) = -1

ちなみにtanの加法定理を覚えていなくてもsin と　cos それぞれの加法定理から、tan=sin/cos で出せます。

（イ）、(ウ）前問を使います。
tan(x)tan(y) = -1
より、tan(x)もtan(y)もどちらも０ではありません。ですから両辺をtan(x)で割ります。

tan(y) = -1/tan(x)

これを

tan（x）+tan（y）=1

に代入して両辺にtan(x)をかけて整理すると２次方程式になります。

｛tan（x）｝＾２-tan（x）-1=0

これを解いて

tan(x) = (1±√５)/2

とふたつ解が出てきますが、これを

tan(y) = -1/tan(x)

に代入して計算すると

tan(y) = （１∓√５）/2

とtan(x)と±の符号が逆のものが出てきます。
-π/2<x<y<π/2　より　tan(x)　<　tan(y) なので、

tan(x) = (1-√5)/2

tan(y) = (1+√5)/2

（エ）
cos(x-y) = cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y)

ですが、（ア）より

-1 = tan(x)tan(y) = sin(x)sin(y)/cos(x)cos(y)

したがって、

cos(x)cos(y)+sin(x)sin(y) = 0

左辺はcos(x-y)なので、結局

cos(x-y) = 0

（オ）cosの加法定理、あるいは２倍角定理により、
cos2(x+y) = cos^2 (x+y) - sin^2 (x+y)
= 2 cos^2 (x+y) - 1

よってcos^2 (x+y) を求めれば良いことになります。

sin^2 (x+y) + cos^2 (x+y) = 1

より、両辺をcos^2 (x+y) で割って

tan^2 (x+y) +1 = 1 / cos^2 (x+y)

であり、これに　tan(x+y)=1/2　を代入すると

cos^2 (x+y) = 4/5

とでます。したがって、

cos2(x+y) = 2 cos^2 (x+y) - 1
= 3/5

（カ）
sin^2 (x) + cos^2 (x) = 1
の両辺を　cos^2 (x)　で割って
tan^2 (x) +1 = 1 / cos^2 (x)

tan(x) は　(イ）　でもとめてあるので、

cos^2 (x) = (5+√5)/10

同様にして、(ウ）より

cos^2 (y) = (5-√5)/10

足して、

cos＾2(x)+cos＾2(y)= 1

あくまで解き方の１例ですので、探せば他にもっと簡単な方法などがあるかもしれません。

お礼

ありがとうございました。
とっても助かりました！

回答No.2

spring135

>tanx+tany=1 　　(1)
>tan(x+y)=1/2 　　　(2)
>-π/2<x<y<π/2　　　　(3)

(1)、(2)より

tan(x+y)=(tanx+tany)/(1-tanxtany)=1/(1-tanxtany)=1/2

よって

1-tanxtany=2

tanxtany=-1 (4)

(1)、(4)よりtanx、tanyを解とする2次方程式は

t^2-t-1=0

t=(1±√5)/2

(3)より-π/2<x<y<π/2ならばtanx<tany,よって

tanx=(1-√5)/2、tany=(1+√5)/2 (5)

tanx=sinx/cosx=-√(1-cos^2x)/cosx=(1-√5)/2

両辺2乗して

(1-cos^2x)/cos^x=[(1-√5)/2]^2=(3-√5)/2

1/cos^2x=(5-√5)/2

cos^2x=2/(5-√5)=(5+√5)/10

cosx=√[(5+√5)/10] (6)

sinx=tanx*cosx=-√[(5-√5)/10] (7)

同様に

cosy=√[(5-√5)/10] (8)
siny=√[(5+√5)/10] 　　　　　　　　　(9)

以上で(ア）、（イ）、（ウ）はできた。

(エ）

cos(x-y)= cosxcosy+sinxsiny=√[(5+√5)/10]*√[(5-√5)/10]+{-√[(5-√5)/10]}*[(5+√5)/10]
=0　　　　　　　　

(オ）

cos(x+y)=cosxcosy-sinxsiny=√[(5+√5)/10]*√[(5-√5)/10]-{-√[(5-√5)/10]}*[(5+√5)/10]
=2√[(5+√5)/10]*√[(5-√5)/10]=2√20/10=2√5/5　　　　　　　　

cos2(x+y)= 2cos^2(x+y)-1=(2√5/5)^2-1=3/5

(　カ　)　

cos＾2x+cos＾2y=(5+√5)/10+(5-√5)/10=1

お礼

解答ありがとうございます！
助かりました。