いろいろな曲線

質問

1.２定点（±c,0）からの距離の和が一定値2a(a>c)である点の軌跡が、円の標準形で表されることを確かめなさい。

sqrt((x-c)^2+y^2)+sqrt((x+c)^2+y^2)=2a
ここで(x-c)^2+y^2+(x+c)^2+y^2=2(x^2+y^2+c^2)を使い
(X+Y)^2+(X-Y)^2=2X^2+2Y^2により
|sqrt((x-c)^2+y^2)-sqrt((x+c)^2+y^2)|=sqrt(4(x^2+y^2+c^2-a^2) ←この変形が理解できません。

2.楕円x^2/a^2+y^2/b^2=1の周上Pでの接線は、焦点F、F'と結ぶ角FPF'の外角をニ等分することを証明しなさい。

楕円x^2/a^2+y^2/b^2=1楕円の周上の点を媒介変数表示x=acosθ,y=bsinθで表すと、接線の傾きは-bcosθ/acosθ
焦点を結ぶ直線の傾きはそれぞれbsinθ/(acosθ-c),bsinθ/(acosθ+c)(c=sqrt(a^2-b^2))これと接線とのなす角の正接は、前者が(absin^2θ+bcosθ(acosθ-c))/(asinθ(acosθ-c)-b^2sinθcosθ) ←この式が導出できません。

3.楕円x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)の外部の一点Pから楕円に引いた2本の接線が直交するような性質をもつ点Pの軌跡を求めなさい。

楕円上の2点s(acosθ,bsinθ),(acosφ,bsinφ)での接線が直交するとすると
a^2sinθsinφ+b^2cosθcosφ=0
両接点の交点の座標は
x=a(sinφ-sinθ)/(cosθsinφ-sinθcosφ)
y=b(cosθ-cosφ)/(cosθsinφ-sinθcosφ)
x^2+y^2=[a^2(sin^2θ+sin^2φ)+b^2(cos^2θ+cos^2φ)]÷(cos^2θsin^2φ+sin^2θcos^2φ-2sinθcosθsinφcosφ)
分子の-2a^2sinθsinφ-2b^2cosθcosφは直交条件によって0になる。
分母の(a^2+b^2)倍を分子から引くと　←どうしてそうするのかわかりません。　
2a^2sin^2θsin^2φ+2b^2cos^2θcos^2φ+2(a^2+b^2)(sinθcosθsinφcosφ)　←導出できず。
=2(sinθsinφ+cosθcosφ)(a^2sinθsinφ+b^2cosθcosφ)=0であり、
x^2+y^2=a^2+b^2　←導出できず。
となる。

多くて恐縮ですがご教示いただければと思います。

回答No.1

eatern27 · ベストアンサー

(1)
sqrt((x-c)^2+y^2)+sqrt((x+c)^2+y^2)=2a
前者のsqrtの中身をＡ、後者をＢとします。
sqrtA+sqrtB=2a
両辺を２乗して、
A+B+2sqrtAB=2a
両辺に-2(A+B)を足して、-1倍したものを1/2乗すれば、
|sqrt((x-c)^2+y^2)-sqrt((x+c)^2+y^2)|=sqrt(4(x^2+y^2+c^2-a^2)
になります。

(2)
x軸の正の向きと接線がなす角をα,FPのなす角をβとすると、
tanα＝-bcosθ/acosθ,tanβ=bsinθ/(acosθ-c)
となって、
tan(α-β)＝(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)
に代入すれば求まるはずです。

(3)
x^2+y^2=[a^2(sin^2θ+sin^2φ)+b^2(cos^2θ+cos^2φ)]÷(cos^2θsin^2φ+sin^2θcos^2φ-2sinθcosθsinφcosφ)
右辺の分母をA、分子をBとすると、

x^2+y^2=B/A={B-(a^2+b^2)A}/A+(a^2+b^2)
となるのは、問題ないですよね？この変形は
＞分母の(a^2+b^2)倍を分子から引くと　←どうしてそうするのかわかりません。　
の部分に相当するのですが、多分,答えを知っているから、こういう変形をするんだと思います。

ここで、第一項の分子を計算してみます。
B-(a^2+b^2)A
=a^2(sin^2θ+sin^2φ)+b^2(cos^2θ+cos^2φ)-(a^2+b^2)(cos^2θsin^2φ+sin^2θcos^2φ-2sinθcosθsinφcosφ)

=a^2((sinθ)^2+(sinφ)^2-(cosθ)^2(sinφ)^2-(sinθ)^2(cosφ)^2)+b^2((cosθ)^2+(cosφ)^2-(cosθ)^2(sinφ)^2-(sinθ)^2(cosφ)^2)+2(a^2+b^2)(sinθcosθsinφcosφ)

この後、(sinθ)^2-(sinθ)^2(cosφ)^2=(sinθ)^2(1-(cosφ)^2)=(sinθ)^2(sinφ)^2
のような変形をすれば、
=2a^2sin^2θsin^2φ+2b^2cos^2θcos^2φ+2(a^2+b^2)(sinθcosθsinφcosφ)　
となります。
これが０、つまり、x^2+y^2={B-(a^2+b^2)A}/A+(a^2+b^2)において、B-(a^2+b^2)A=0なんですから、
x^2+y^2=a^2+b^2
となります。

お礼

やっとわかりました。
なかなか気づかないものですね。