微分 接線の方程式

質問

よろしくお願いします。
『Y=2cosx,Y=a＋sin2xのグラフが接するとき、定数aの値を求めよ。ただし0≦x＜2л』・・・(1)
『二つの曲線Y=x^2,Y=1/xに共通な曲線の方程式を求めよ』・・・(2)
『直線Y=1/2x＋aが曲線Y=logxに接するとき定数aの値を求めよ』・・・(3)
という三つの問題なのですが(1)(2)(3)の問題でとき方は変わってくるのですか？（三つの問題の違いがよくわからないのですが・・）(2)の問題では共通な曲線の方程式を求めよという事ですが、それは(1)や(3)のように二つの関数が接していると考えていいんでしょうか？どのような手順で解けばよいかを教えてくださるとうれしいです。お願いします。

回答No.1

springside · ベストアンサー

３つとも、微分を使うという点では同じですが、ちょっとずつ違います。
また、(2)では、(1)や(3)のように、「２つの関数のグラフが接している」のではなく、「２つの関数のグラフの両方に接する直線を求める」ことが必要です。

以下、手順を書きます。

(1) ２つのグラフが接する点のx座標をpとおくと、x=pでの両グラフのy座標と接線の傾きが等しいから、

2cos(p) = a+sin(2p)・・・(あ)
-2sin(p) = 2cos(2p)・・・(い)

(い)の式を変形してsinだけの式にし、sin(p)を求め、pを求めれば、(あ)の式からaがわかる。

(2) y=x^2上の点(p,p^2)における接線y=2px-p^2と、y=1/x上の点（q,1/q)における接線y=(-1/q^2)x+2/qが一致するから、両接線のxの係数と定数項を等しいとおいて、pとqを求める。

(3) y=log(x)上の点(p,log(p))における接線y=(1/p)x+log(p)-1が、y=(1/2)x+aと一致するから、xの係数と定数項を等しいとおいて、pとaを求める。

お礼

分かりやすい回答ありがとうございます。(2)では、「２つの関数のグラフが接している」のではなく、「２つの関数のグラフの両方に接する直線を求める」のですね。なんか納得！という感じです。とりあえず手順どおりにやっていき三つの問題とも解く事ができました！！（最終的な答えがあっているかどうかは自信がないですが・・・）本当にお世話になりました（∨∀∨）