接線の方程式

質問

放物線y=x^2+2ax+bは、直線y=4x-3と点Ａで、直線y=-2xと点Ｂで接している。
（１）定数a,bを求めよ。
（２）点Ａのx座標pと点Ｂのx座標qの値を求めよ。
（３）放物線y=x^2+2ax+bと２点Ａ、Ｂを通る直線とで囲む図形の面積を求めよ。

（１）ｆ'(x)=2x+2aとなり、接する点Ａの座標を（x1,y1）とおくと
接線の公式でy-y1=f'(x1)(x-x1)
　　　　　　⇔　y-y1=(2x1-2a)(x-x1)
　　　　　　⇔　y=(2x1-2a)x-2x1^2-2ax1+y1=4x-3
と持っていくのでよろしいのでしょうか？

教えてください。お願いいたします。

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

(1)

> 接する点Ａの座標を（x1,y1）とおくと
> 接線の公式でy-y1=f'(x1)(x-x1)
>　　　　　　⇔　y-y1=(2x1-2a)(x-x1)
間違い。正：⇔　y-y1=(2x1+2a)(x-x1)

>　　　　　　⇔　y=(2x1-2a)x-2x1^2-2ax1+y1=4x-3
間違い。正：⇔　y=(2x1+2a)x-2x1^2-2ax1+y1=4x-3

>と持っていくのでよろしいのでしょうか？
ミスがなければこれで良いです。

係数比較して
　2x1+2a=4 …(A)
　2x1^2+2ax1-y1=3 …(B)
また、A(x1,y1)は放物線 y=x^2+2ax+b 上の点であるから
　y1=x1^2+2ax1+b …(C)

接する点Bの座標を（x2,y2）とおくと

接線の公式でy-y2=f'(x2)(x-x2)
　　　　　　⇔　y-y2=(2x2+2a)(x-x2)
　　　　　　⇔　y=(2x2+2a)x-2x2^2-2ax2+y2=-2x
係数を比較して
　2x2+2a=-2 …(D)
　-2x2^2-2ax2+y2=0 …(E)
また、B(x1,y1)は放物線 y=x^2+2ax+b 上の点であるから
　y2=x2^2+2ax2+b …(F)

以上の（A)～(F)の６つの連立方程式に対して、未知数がa,b,x1,y1,x2,y2の６個なので解ける。
連立方程式を解けば、a=0,b=1,A(2,5),B(-1,2) と求めることが出来ます。

(2)
(1)の結果から
p=x1=2, q=x2=-1

(3)
２点Ａ、Ｂを通る直線は
　y=(x+1)(5-2)/(2+1) +2
ｙ=(x+1)+2
　∴y=x+3
放物線：y=x^2+2ax+b= x^2+1
面積S=∫[-1,2] {(x+3)-(x^2 +1)}dx=∫[-1,2] (x+2-x^2)dx

この定積分は簡単なので出来ますね。やってみて下さい。

　（S = 9/2　となれば合っています。）

お礼

詳しい説明ありがとうございました。

回答No.2

noname#145525

方針はそれでＯＫです。ただし
・点Ａは放物線上の点なのでy1=x1^2+2ax1+bとする
・計算ミスあり　2x1-2a→2x1+2a

お礼

ありがとうございました。

回答No.1

eco1900

その通りですよ^^b

お礼

ありがとうございました