位相余裕度の交差周波数以外の判定について

質問

位相余裕度の安定性を判断するときボード線図を利用してゲイン余裕や位相余裕を求めると思うのですが、そのときに低周波数帯で利得がある段階で位相差が-180度近くなったときにゲイン余裕や位相余裕が満たされていれば問題ないのでしょうか？

ゲインが0dBを下回っていれば、位相がいくらズレてもあまり気にしなくてもいい気がしますが、ゲインがあるときは何か気にする必要があるような気がしてゲイン余裕、位相余裕を満たしていても心配になってしまいます。

何かご存知の方おられましたらアドバイスよろしくお願いいたします。

回答No.1

xpopo · ベストアンサー

今晩は、同じような質問に回答した事があります（http://okwave.jp/qa/q8393568.html）。

位相余裕を判定する時のボード線図はオープンループですから、フィードバック状態での安定性に疑問をもつ場合は位相とゲインから閉ループのゲインと位相は計算できますから実際に計算してみればわかるはずです。

お礼

お礼が遅くなり、申し訳ありません。
リンク先を元に計算してみます。

以前の回答を探せず、すみません。
教えていただいて、ありがとうございました。

補足

すばやく回答を頂いたのに計算してみたのが次の週末となってしまい、申し訳ありません。

教えていただいたリンク先より計算を追わせていただきましたが、いくつか確認したい点、わからない点が出てきました。

(1)この計算で求めた閉ループゲインが0dBに近い方が良いのは、閉ループゲインが多いとノイズが大きくなっ　てしまうため、正しく増幅出来なくなってしまうためという理解であっていますでしょうか？

(2)(4)では1/2乗出てきますが、これは単純に√(ルート)と解釈してよろしいのでしょうか？
　また計算は√((Gopen(jω)／（1　+　Gopen(jω)))^2)を計算していくと式(4)になるのでしょうか？
　うまく導きだせずにいます。

　Gopen(jω)＝u　+　jv　　　　　（３）

　Mc＝｜Tc(jω)｜＝　｜Gopen(jω)／（1　+　Gopen(jω))｜
　　　　　　　　 ＝ (u^2　+　v^2)^(1/2)／(((1 + u)^2 + v^2)^(1/2)) （４）

(3)(5)ですが、GoとMoがどこから出てきたのか分からず、なぜ式(5)が計算出来るのか分かりませんでした。

　Mo＝10＾(Go／20）　　　　（5）

恥ずかしながら計算が示していただいた式が導き出せず数学の問題となってしまい、申し訳ありません。
(4)式が分かればあとは代入すれば計算して閉ループゲインを出せまずが、(4)式がどうやって出てきたのかを自分で計算して出したく、お手数ですがアドバイスいただけれると助かります。

回答No.5

bogen555

僕もリンク先見たけれど、この手の問題とは一生関わらないつもりならともかく、勉強続けて行くつもりならリンク先は見ない方が良いです。
なぜなら、用語が独自で将来専門書を読むときに混乱するからです。
先ず用語ですが、紹介したここの用語が一般的で覚えるならこちらです。
http://www.tij.co.jp/jp/lit/an/jaja097/jaja097.pdf
用語はこうなっています。
・オープン（開）・ループ・ゲイン：Ao（AとかAolとか書く場合もある）
　負帰還をかけていないときの入出力のゲイン（=Vo/Vi）
・ループ・ゲイン：Aoβ（還送比と呼ぶ場合もある）
　負帰還ループの一巡ゲイン
・クローズド（閉）・ループ・ゲイン：G=Ao/(1+Aoβ)（仕上がりゲインと呼ぶ場合もある）
　負帰還をかけたときの入出力のゲイン（=Vo/Vi）
・帰還量：1+Aoβ（還送差と呼ぶ場合もある）
・帰還率：β
考えておかなければいけないのは、すべてのパラメータが周波数特性を持つとゆうことです。
つまり、Ao(s)ですね。またβも周波数特性を持つ場合があります。
周波数特性を考えるときにはs=jω（ωは角周波数，ω=2πf，fは周波数）とします。
過渡応答を求めるときには、sのままで逆ラプラス変換します。

後は詳しいオペアンプの解説書を薦めたいところですが、日本語の本はアマチュアの初心者向けは詳しい説明がないし、プロの初心者向けはより高度な話になって良い本がありません。
この本は、'for Everyone'とゆうぐらいで非常にやさしいところから順序よく説明しています。
http://www.amazon.co.jp/Op-Amps-Everyone-Fourth-Edition/dp/0123914957

Webで'Op Amps for Everyone'と検索したところ、第1版がPDFファイルでありました。
http://www.google.co.jp/url?url=http://e2e.ti.com/cfs-file.ashx/__key/telligent-evolution-components-attachments/00-18-01-00-01-20-34-88/op-amps-for-everyone.pdf&rct=j&frm=1&q=&esrc=s&sa=U&ei=bhxFVKyzFsO0mwXR14LADw&ved=0CBkQFjAB&sig2=x8vMyPl1bZFKdElKPGTzmw&usg=AFQjCNEbVfDbYjfZLn2_ODdkL5PNOAmCog
これの第5章'Feedback and Stability Theory'を読んだらどうでしょうか？
強く薦めます。

お礼

お礼が遅れてしまい、申し訳ありません。

今回の回答だけにかぎらず、これからのことまで考えていただき、ありがとうございます。
今回おすすめいただいたPDFは英語のため、なかなか読み進めれないかもしれませんが、頑張ってみます。

用語も計算式もまだまだ理解不足のところが多々ありますので、ただ位相余裕度の確認にとどまらず
勉強しなおしてみます。

回答No.4

xpopo

回答NO.1です。回答へのお礼ありがとうございました。遅くなってしまいましたが回答への補足にある質問について下記に回答いたします・。

＞教えていただいたリンク先より計算を追わせていただきましたが、いくつか確認したい点、わからない点が出てきました。
＞
＞(1)この計算で求めた閉ループゲインが0dBに近い方が良いのは、閉ループゲインが多いとノイズが大きくなっ　てしまうため、正しく増幅出来なくなってしまうためという理解であっていますでしょうか？

回答>>この閉ループでは帰還ゲインが１、つまり、入力信号に対して対して出力信号が１：１で追従するフィードバック系になってますので、ゲインが0dBで一番正確に出力信号が入力信号に追従している状態です。ゲインが0dBより大きかったり小さい場合はその分だけ制御の正確性が悪化していることになります。ですから解釈としてはノイズが大きいわけではなく0dBに近い方が制御の正確性が高いと言うことになります。
　また、ある周波数で極端に閉ループゲインが高くなってる場合はその周波数で振幅も大きくなることを意味しますのでその周波数でいわゆる発振を起こしやすくなります。この発振はフィードバックループでの安定性として最悪の状態ということになります。

＞(2)(4)では1/2乗出てきますが、これは単純に√(ルート)と解釈してよろしいのでしょうか？
＞　また計算は√((Gopen(jω)／（1　+　Gopen(jω)))^2)を計算していくと式(4)になるのでしょうか？
＞　うまく導きだせずにいます。

回答＞＞まず　1/2乗　は　単純に√(ルート)と解釈して　よいです。
それから計算は複素数の絶対値を求めてるので、計算は　√((Gopen(jω)／（1　+　Gopen(jω)))^2)　を計算してる訳ではありません。
　分かりやすく計算の仮定を以下に説明しましょう。

まず式（２）は

　　　Mc＝｜Tc(jω)｜＝　｜Gopen(jω)／（1　+　Gopen(jω))｜　　　　（２）

ですが、この式に素直に式（３）

　　Gopen(jω)＝u　+　jv　　　　　（３）

を代入しますと、

　　Mc＝｜Tc(jω)｜＝　｜Gopen(jω)／（1　+　Gopen(jω))｜
　　　＝｜（u　+　jv）／（１　+　u　+　jv）｜

ここで全体の式を囲ってる記号　｜　｜はこの2本の棒で囲まれた中の式の絶対値をとるという意味になってます。上の式は複素数ですから、絶対値は分子、分母でそれぞれ複素数の絶対値の計算をすることになります。複素数の絶対値は御存知のように実部の2乗と虚部の2乗を足してそれに√を掛けたものになりますので、引き続き上の式を計算しますと

　　Mc＝｜Tc(jω)｜＝　｜Gopen(jω)／（1　+　Gopen(jω))｜
　　　＝｜（u　+　jv）／（１　+　u　+　jv）｜
　　　＝√（u^2　+　v^2）／［√｛（1　+　u）^2　+　v^2｝］

となります。これは即ち式（４）と同じです。

＞(3)(5)ですが、GoとMoがどこから出てきたのか分からず、なぜ式(5)が計算出来るのか分かりませんでした。
＞
＞　Mo＝10＾(Go／20）　　　　（5）

回答＞＞Goはオープンループのゲインと説明してあります。011abcさんの質問で冒頭、「位相余裕度の安定性を判断するときボード線図を利用してゲイン余裕や位相余裕を求めると思うのですが、」とおっしゃってますが、この　ボード線図でのゲイン　が即ちオープンループのゲインということになります。
　一方式（５）の計算はGoが　dB　で表されているので　dB　をもとのゲインの表現（例えばゲインが100倍とか200倍のような）に戻す計算です。このへんの計算と複素数の計算は電子工学では基本的な知識として重要なのでしっかり理解されないとまずいですよ。

以上です。

お礼

ご親切に詳しく回答いただきありがとうございます。
おかげで納得することが出来ました。

おっしゃる通り基本的な計算がなかなか身につかず恥ずかしい限りです。

回答No.3

bogen555

ついでに、負帰還安定度をシミュレーションで求めるには、この資料の「3.2 ミドルブルック法」によりおこないます。
http://www.tij.co.jp/jp/lit/an/jaja097/jaja097.pdf

実測するには「3.1 簡易測定法(実測も可能な方法)」がエエです。
市販の測定器FRAも同じように求めています。
http://www.nfcorp.co.jp/pro/mi/fra/index.html
学生さんだったら、トラ技でも特集された学生割引のあるこれ使って
http://www.digilentinc.com/Products/Detail.cfm?NavPath=2,842,1018&Prod=ANALOG-DISCOVERY
（こちらは学生割引なし）
http://akizukidenshi.com/catalog/g/gM-07738/
こんな感じで測定したらどうでしょうか？
http://designideas.cocolog-nifty.com/blog/2014/09/injection-trans.html

回答No.2

bogen555

先ず「位相余裕度の安定性を判断する」んじゃなくて、「負帰還制御の安定性を判断する」んですよ。
その安定性を判断する指標としてループゲイン（還相比）のゲイン余裕と位相余裕を使うわけです。
当然ながらオープンループでは、ループゲインはゼロ倍（dBではマイナス∞）だから、ゲイン余裕と位相余裕はありません。

> ゲインが0dBを下回っていれば、位相がいくらズレてもあまり気にしなくてもいい気がしますが、
そのとおりです。

> ゲインがあるときは何か気にする必要があるような気がしてゲイン余裕、位相余裕を満たしていても心配になってしまいます。
安定性だけで考えるんなら、それも気にしなくてかまいません。

なぜ気にするのか考えると、突発的な信号変化とか外乱による過渡応答の心配じゃないでしょうか？
それは、ループゲインではなく、仕上がりゲインの伝達関数をラプラス変数ｓの関数として求め、ステップ関数（１／ｓ）を入力として逆ラプラス変換して求めるのが最も簡単です。
最も簡単と言っても途中で位相変化を与える式は結構大変なんで、シミュレーションで求めてみたらどうでしょうか？
そうすると、途中の位相変化はそのときのループゲイン（正確には帰還量：還相差）により圧縮されて、ほとんど気にならないことがわかります。

お礼

ご指摘ありがとうございます。

まだ私は考えが浅かったようです。
すぐにシミュレーションまでたどり着けないかもしれませんが、頑張ってみます。
ご提案いただいたシミュレーションも試してみたいと思います。